Номер 42.33, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.33. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 1$ является точкой экстремума функции $y = x^3 - ax^2 + (a^2 - 2a)x - 7$?

Для того чтобы точка $x_0 = 1$ являлась точкой экстремума дифференцируемой функции, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю. Это необходимое условие экстремума.

Найдем производную данной функции $y = x^3 - ax^2 + (a^2 - 2a)x - 7$:

$y'(x) = 3x^2 - 2ax + a^2 - 2a$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной и приравняем его к нулю:

$y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2a \cdot 1 + a^2 - 2a = 0$

$3 - 2a + a^2 - 2a = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно параметра $a$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$a_1 = 1$, $a_2 = 3$

Теперь необходимо проверить достаточное условие экстремума для каждого из найденных значений $a$. Точка является точкой экстремума, если при переходе через нее первая производная меняет свой знак. Для проверки этого условия воспользуемся второй производной. Если $y''(x_0) \neq 0$, то точка $x_0$ является точкой экстремума.

Найдем вторую производную:

$y''(x) = (3x^2 - 2ax + a^2 - 2a)' = 6x - 2a$

Проверим каждое значение $a$:

1. При $a = 1$:

$y''(1) = 6 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 4$

Так как $y''(1) = 4 > 0$, то в точке $x_0 = 1$ функция имеет минимум. Следовательно, $x_0 = 1$ является точкой экстремума. Значение $a=1$ подходит.

2. При $a = 3$:

$y''(1) = 6 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0$

В этом случае тест со второй производной не дает ответа. Исследуем знак первой производной в окрестности точки $x_0 = 1$. Подставим $a=3$ в выражение для $y'(x)$:

$y'(x) = 3x^2 - 2(3)x + (3^2 - 2 \cdot 3) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$

Выражение $3(x-1)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$. Это означает, что производная $y'(x)$ не меняет знак при переходе через точку $x=1$ (она положительна слева и справа от нее). Таким образом, при $a=3$ точка $x_0=1$ не является точкой экстремума (это точка перегиба с горизонтальной касательной).

Следовательно, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=1$.

Ответ: $a=1$.