gdz.top
Номер 42.31, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 42. Точки экстремума функции - номер 42.31, страница 331.
№42.30
№42.31 (с. 331)
Условие. №42.31 (с. 331)
42.31. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 1$ является точкой минимума функции $y = \frac{x^3}{3} + ax^2 + (a^2 - 4) x + 7$?
Решение. №42.31 (с. 331)
Для того чтобы точка $x_0 = 1$ была точкой минимума функции $y = \frac{x^3}{3} + ax^2 + (a^2 - 4)x + 7$, должны выполняться два условия: необходимое и достаточное.
Необходимое условие экстремума
В точке экстремума первая производная функции должна быть равна нулю: $y'(x_0) = 0$.
Найдем первую производную данной функции:
$y'(x) = (\frac{x^3}{3} + ax^2 + (a^2 - 4)x + 7)' = \frac{3x^2}{3} + 2ax + (a^2 - 4) = x^2 + 2ax + a^2 - 4$.
Подставим значение $x_0 = 1$ в производную и приравняем ее к нулю:
$y'(1) = 1^2 + 2a \cdot 1 + a^2 - 4 = 0$
$1 + 2a + a^2 - 4 = 0$
$a^2 + 2a - 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно параметра $a$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются:
$a_1 = 1$
$a_2 = -3$
Таким образом, только при $a=1$ или $a=-3$ точка $x_0=1$ может быть точкой экстремума.
Достаточное условие минимума
Для того чтобы точка $x_0 = 1$ была именно точкой минимума, вторая производная в этой точке должна быть положительной: $y''(x_0) > 0$.
Найдем вторую производную:
$y''(x) = (y'(x))' = (x^2 + 2ax + a^2 - 4)' = 2x + 2a$.
Подставим значение $x_0 = 1$ во вторую производную:
$y''(1) = 2 \cdot 1 + 2a = 2 + 2a$.
Теперь проверим, при каком из найденных значений $a$ выполняется условие $y''(1) > 0$.
При $a = 1$:
$y''(1) = 2 + 2 \cdot 1 = 4$.
Так как $4 > 0$, то при $a = 1$ точка $x_0 = 1$ является точкой минимума.
При $a = -3$:
$y''(1) = 2 + 2 \cdot (-3) = 2 - 6 = -4$.
Так как $-4 < 0$, то при $a = -3$ точка $x_0 = 1$ является точкой максимума, что не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, единственное значение параметра, при котором $x_0 = 1$ является точкой минимума, это $a=1$.
Ответ: $a=1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 42.31 расположенного на странице 331 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №42.31 (с. 331), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.