Номер 43.5, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sin x - \cos x$, $[0; \pi];$

2) $f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right].$

1) $f(x) = \sin x - \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить полученные результаты.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$\cos x + \sin x = 0$

$\sin x = -\cos x$

Разделив обе части на $\cos x \neq 0$, получаем:

$\tan x = -1$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \pi]$. При других целых значениях $k$ точки не попадают в заданный отрезок.

4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

$f(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$.

$f(\pi) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$.

$f(\frac{3\pi}{4}) = \sin \frac{3\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

5. Сравниваем полученные значения: $-1$, $1$ и $\sqrt{2}$.

Наибольшее значение: $\max\{-1; 1; \sqrt{2}\} = \sqrt{2}$.

Наименьшее значение: $\min\{-1; 1; \sqrt{2}\} = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\sqrt{2}$, наименьшее значение равно $-1$.

2) $f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x\sqrt{3} - \cos 2x)' = \sqrt{3} - (-\sin 2x \cdot 2) = \sqrt{3} + 2\sin 2x$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$\sqrt{3} + 2\sin 2x = 0$

$\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения для $2x$ имеют вид:

$2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$ и $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

3. Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Из первой серии решений при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{6}$, что принадлежит отрезку.

Из второй серии решений при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{3}$, что также принадлежит отрезку.

При других целых $k$ точки лежат вне отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

На концах отрезка:

$f(-\frac{\pi}{2}) = (-\frac{\pi}{2})\sqrt{3} - \cos(2(-\frac{\pi}{2})) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(-\pi) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

$f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})\sqrt{3} - \cos(2(\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(\pi) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

В критических точках:

$f(-\frac{\pi}{3}) = (-\frac{\pi}{3})\sqrt{3} - \cos(2(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.

$f(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{\pi}{6})\sqrt{3} - \cos(2(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \cos(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}$.

5. Сравним полученные значения. Исследуем знак производной $f'(x)$ на отрезке.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

На интервале $(-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

На интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-\frac{\pi}{3}$ - точка локального максимума, а $x=-\frac{\pi}{6}$ - точка локального минимума.

Наибольшее значение ищем среди $f(-\frac{\pi}{3})$ и $f(\frac{\pi}{2})$.

$f(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} < 0$, так как $2\pi\sqrt{3} > 3$.

$f(\frac{\pi}{2}) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} > 0$.

Следовательно, наибольшее значение $f_{наиб.} = f(\frac{\pi}{2}) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Наименьшее значение ищем среди $f(-\frac{\pi}{2})$ и $f(-\frac{\pi}{6})$.

Сравним $f(-\frac{\pi}{2}) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ и $f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$. Так как на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$ функция возрастает, то $f(-\frac{\pi}{2}) < f(-\frac{\pi}{3})$. Так как на отрезке $[-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}]$ функция убывает, то $f(-\frac{\pi}{3}) > f(-\frac{\pi}{6})$. Для сравнения $f(-\frac{\pi}{2})$ и $f(-\frac{\pi}{6})$ рассмотрим их разность. Можно показать, что $f(-\frac{\pi}{6}) > f(-\frac{\pi}{2})$, поэтому наименьшее значение достигается на левом конце отрезка.

Следовательно, наименьшее значение $f_{наим.} = f(-\frac{\pi}{2}) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.