Номер 40.21, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.21. На графике функции $f(x) = -\sqrt{2x+1}$ найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой $y - 2x + 1 = 0$.

Две прямые (не параллельные осям координат) перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1. Обозначим угловой коэффициент касательной как $k_{кас}$, а угловой коэффициент данной прямой как $k_{пр}$. Условие перпендикулярности: $k_{кас} \cdot k_{пр} = -1$.

1. Найдем угловой коэффициент $k_{пр}$ прямой, заданной уравнением $y - 2x + 1 = 0$. Для этого выразим $y$: $y = 2x - 1$. Это уравнение прямой вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Следовательно, $k_{пр} = 2$.

2. Теперь найдем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$, используя условие перпендикулярности: $k_{кас} \cdot 2 = -1$ $k_{кас} = -\frac{1}{2}$.

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$. Найдем производную функции $f(x) = -\sqrt{2x + 1}$: $f'(x) = (-\sqrt{2x+1})' = -( (2x+1)^{\frac{1}{2}} )' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x+1)' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = -(2x+1)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

4. Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту касательной, чтобы найти абсциссу $x_0$ искомой точки: $f'(x_0) = -\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{\sqrt{2x_0+1}} = -\frac{1}{2}$ Умножим обе части на -1: $\frac{1}{\sqrt{2x_0+1}} = \frac{1}{2}$ Из равенства дробей следует равенство их знаменателей: $\sqrt{2x_0+1} = 2$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $2x_0+1 = 4$ $2x_0 = 3$ $x_0 = \frac{3}{2}$.

5. Найдем ординату $y_0$ искомой точки, подставив значение $x_0$ в исходную функцию $f(x)$: $y_0 = f(x_0) = f(\frac{3}{2}) = -\sqrt{2 \cdot \frac{3}{2} + 1} = -\sqrt{3+1} = -\sqrt{4} = -2$.

Таким образом, искомая точка на графике функции имеет координаты $(\frac{3}{2}; -2)$.

Ответ: $(\frac{3}{2}; -2)$.