Страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.18. Ученик предлагает находить производную функции $y = \sin 2x$ так:

1) делает замену $2x = t$ и получает функцию $y = \sin t;$

2) далее пишет: $y' = (\sin t)' = \cos t;$

3) потом подставляет значение $2x = t$ и делает вывод, что $(\sin 2x)' = \cos 2x.$

В чём ошибка этого ученика?

Ошибка ученика заключается в том, что он не применил или неверно применил правило дифференцирования сложной (композитной) функции, также известное как цепное правило.

Функция $y = \sin(2x)$ является сложной, так как она представляет собой композицию двух функций:

• внешней функции $f(t) = \sin t$;
• внутренней функции $t(x) = 2x$.

Правило дифференцирования сложной функции $y = f(t(x))$ гласит, что производная такой функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу $t$ на производную внутренней функции по основному аргументу $x$:

$y'(x) = f'(t(x)) \cdot t'(x)$

Рассмотрим действия ученика с точки зрения этого правила:

1) Ученик правильно определил внешнюю и внутреннюю функции, сделав замену $t = 2x$.

2) Написав $y' = (\sin t)' = \cos t$, ученик нашёл производную только внешней функции $f'(t) = \cos t$. На этом шаге он совершил ключевую ошибку: он не умножил результат на производную внутренней функции $t'(x)$. По сути, он нашёл производную $\frac{dy}{dt}$, в то время как требовалось найти производную по $x$, то есть $\frac{dy}{dx}$.

3) Подстановка $t = 2x$ в неполный результат привела к неверному ответу.

Правильное решение должно выглядеть так:

Найдём производную внешней функции: $f'(t) = (\sin t)' = \cos t$.

Найдём производную внутренней функции: $t'(x) = (2x)' = 2$.

Согласно цепному правилу, перемножим эти результаты, подставив вместо $t$ его выражение через $x$:

$y'(x) = f'(t(x)) \cdot t'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Ответ: Ошибка ученика состоит в том, что при нахождении производной сложной функции он не умножил производную внешней функции на производную внутренней функции. Он проигнорировал множитель $(2x)' = 2$.

39.19. Тело движется по координатной прямой по закону $s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 11}$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите скорость движения тела в момент времени $t_0 = 5 \text{ с}$.

Скорость движения тела является первой производной от функции перемещения по времени. Закон движения тела задан функцией $s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 11}$.

Для нахождения скорости $v(t)$ необходимо найти производную $s'(t)$. Будем использовать правило дифференцирования сложной функции $(f(g(t)))' = f'(g(t)) \cdot g'(t)$.

В нашем случае, внутренняя функция $g(t) = 4t^2 - 6t + 11$, а внешняя — $f(g) = \sqrt{g}$.

Найдем их производные:

$g'(t) = (4t^2 - 6t + 11)' = 8t - 6$

$f'(g) = (\sqrt{g})' = \frac{1}{2\sqrt{g}}$

Теперь найдем производную исходной функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \frac{1}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} \cdot (8t - 6) = \frac{8t - 6}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} = \frac{2(4t - 3)}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} = \frac{4t - 3}{\sqrt{4t^2 - 6t + 11}}$

Теперь вычислим скорость в момент времени $t_0 = 5$ с, подставив это значение в полученную формулу для скорости:

$v(5) = \frac{4 \cdot 5 - 3}{\sqrt{4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 11}}$

$v(5) = \frac{20 - 3}{\sqrt{4 \cdot 25 - 30 + 11}} = \frac{17}{\sqrt{100 - 30 + 11}} = \frac{17}{\sqrt{81}} = \frac{17}{9}$

Таким образом, скорость тела в момент времени $t_0 = 5$ с равна $\frac{17}{9}$ м/с.

Ответ: $\frac{17}{9}$ м/с.

39.20. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = (t+2)^2(t+5)$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите её скорость движения в момент времени $t_0 = 3 \text{ с.}$.

Скорость движения материальной точки $v(t)$ является первой производной от функции ее перемещения $s(t)$ по времени $t$. Чтобы найти скорость в заданный момент времени, необходимо сначала найти функцию скорости $v(t) = s'(t)$, а затем подставить в нее заданное значение времени $t_0 = 3$ с.

Задан закон движения:

$s(t) = (t + 2)^2(t + 5)$

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(t) = (t+2)^2$ и $v(t) = (t+5)$.

Найдем производные этих функций:

$u'(t) = ((t+2)^2)' = 2(t+2)^{2-1} \cdot (t+2)' = 2(t+2) \cdot 1 = 2(t+2)$

$v'(t) = (t+5)' = 1$

Теперь применим формулу производной произведения:

$v(t) = s'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t) = 2(t+2)(t+5) + (t+2)^2 \cdot 1$

Для удобства дальнейших вычислений упростим полученное выражение, вынеся за скобки общий множитель $(t+2)$:

$v(t) = (t+2) \cdot [2(t+5) + (t+2)] = (t+2) \cdot (2t+10+t+2) = (t+2)(3t+12)$

Вынесем также множитель 3 из второй скобки:

$v(t) = 3(t+2)(t+4)$

Теперь найдем значение скорости в момент времени $t_0 = 3$ с, подставив $t=3$ в выражение для $v(t)$:

$v(3) = 3 \cdot (3+2) \cdot (3+4) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$

Так как перемещение измеряется в метрах, а время — в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 105 м/с.

39.21. Материальная точка массой 4 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^2 + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите импульс $p(t) = mv(t)$ материальной точки в момент времени $t_0 = 2$ с.

Импульс материальной точки $p(t)$ вычисляется по формуле $p(t) = m \cdot v(t)$, где $m$ — масса точки, а $v(t)$ — ее мгновенная скорость.

Согласно условию задачи, масса материальной точки $m = 4$ кг.

Скорость $v(t)$ является производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости, взяв производную от закона движения $s(t) = t^2 + 4$:
$v(t) = s'(t) = (t^2 + 4)' = 2t + 0 = 2t$

Теперь необходимо найти скорость в конкретный момент времени $t_0 = 2$ с. Для этого подставим значение $t_0$ в полученную функцию скорости:
$v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.

Наконец, вычислим импульс материальной точки в момент времени $t_0 = 2$ с, используя значения массы и скорости:
$p(2) = m \cdot v(2) = 4 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} = 16$ кг·м/с.

Ответ: 16 кг·м/с.

39.22. Тело массой 2 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 - 4t + 2$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите кинетическую энергию $E(t) = \frac{mv^2(t)}{2}$ тела в момент времени $t_0 = 4 \text{ с}.

Для того чтобы найти кинетическую энергию тела, используется формула $E(t) = \frac{mv^2(t)}{2}$. Из условия задачи известна масса тела $m = 2$ кг и закон движения $s(t) = 3t^2 - 4t + 2$. Требуется найти энергию в момент времени $t_0 = 4$ с.

Сначала необходимо найти скорость тела $v(t)$. Скорость является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$.

Найдем функцию скорости $v(t)$, вычислив производную от $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (3t^2 - 4t + 2)' = 3 \cdot (t^2)' - 4 \cdot (t)' + (2)' = 3 \cdot 2t - 4 \cdot 1 + 0 = 6t - 4$.

Теперь, зная закон изменения скорости, найдем ее значение в момент времени $t_0 = 4$ с:
$v(4) = 6 \cdot 4 - 4 = 24 - 4 = 20$ м/с.

Наконец, подставим известные значения массы $m = 2$ кг и найденной скорости $v(4) = 20$ м/с в формулу для кинетической энергии:
$E(4) = \frac{m \cdot (v(4))^2}{2} = \frac{2 \cdot 20^2}{2} = \frac{2 \cdot 400}{2} = 400$ Дж.

Ответ: 400 Дж.

39.23. Тело движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 - 8t + 15$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Определите координату тела в момент времени, когда его кинетическая энергия равна нулю.

По условию задачи, тело движется по координатной прямой согласно закону $s(t) = 2t^2 - 8t + 15$.

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Кинетическая энергия равна нулю ($E_k = 0$) в том случае, если скорость тела равна нулю ($v=0$), так как масса тела $m$ — величина положительная.

Скорость тела $v(t)$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Найдем производную:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 - 8t + 15)' = 2 \cdot 2t - 8 = 4t - 8$.

Теперь найдем момент времени $t$, в который скорость тела была равна нулю:

$v(t) = 0$

$4t - 8 = 0$

$4t = 8$

$t = 2$ с.

Чтобы найти координату тела в этот момент времени, подставим найденное значение $t = 2$ в исходное уравнение движения $s(t)$:

$s(2) = 2 \cdot (2)^2 - 8 \cdot 2 + 15 = 2 \cdot 4 - 16 + 15 = 8 - 16 + 15 = 7$ м.

Таким образом, в момент времени, когда кинетическая энергия тела равна нулю, его координата составляет 7 метров.

Ответ: 7.

39.24. В точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$ найдите производную функции:

1) $f(x)=x^2-4|x|+3;$

2) $f(x)=|x^2-4x+3|$.

1) $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$

Данная функция содержит модуль от аргумента $x$. Чтобы найти ее производную, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Когда $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4x + 3$

Производная для этого случая равна:

$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$

Когда $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$

Производная для этого случая равна:

$f'(x) = (x^2 + 4x + 3)' = 2x + 4$

Теперь можем найти значения производной в указанных точках.

Для точки $x_1 = -1$:

Поскольку $-1 < 0$, используем производную $f'(x) = 2x + 4$.

$f'(-1) = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$

Для точки $x_2 = 2$:

Поскольку $2 \ge 0$, используем производную $f'(x) = 2x - 4$.

$f'(2) = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

Ответ: $f'(-1) = 2$; $f'(2) = 0$.

2) $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$

В этом случае модуль применяется ко всему выражению. Чтобы найти производную, необходимо определить интервалы, на которых подмодульное выражение $x^2 - 4x + 3$ является положительным или отрицательным.

Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$, и $x^2 - 4x + 3 < 0$ при $x \in (1, 3)$.

Это позволяет записать функцию $f(x)$ в кусочно-заданном виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \\ -(x^2 - 4x + 3), & \text{если } x \in (1, 3) \end{cases}$

Теперь найдём производную для каждого из интервалов (в точках $x=1$ и $x=3$ производная не существует, так как это точки излома графика).

Если $x < 1$ или $x > 3$, то $f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.

Если $1 < x < 3$, то $f(x) = -x^2 + 4x - 3$, и соответственно $f'(x) = (-x^2 + 4x - 3)' = -2x + 4$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

Для точки $x_1 = -1$:

Эта точка принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$, поэтому используем производную $f'(x) = 2x - 4$.

$f'(-1) = 2(-1) - 4 = -2 - 4 = -6$

Для точки $x_2 = 2$:

Эта точка принадлежит интервалу $(1, 3)$, поэтому используем производную $f'(x) = -2x + 4$.

$f'(2) = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0$

Ответ: $f'(-1) = -6$; $f'(2) = 0$.

39.25. В точках $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$ найдите производную функции:

1) $f(x)=x^2 - 6|x| + 5;$

2) $f(x)=|x^2 - 6x + 5|.$

1) $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$

Для нахождения производной необходимо раскрыть модуль. Функция $|x|$ определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Следовательно, функцию $f(x)$ можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 5, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 - 6(-x) + 5 = x^2 + 6x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Теперь найдем производную для каждого интервала:

При $x > 0$: $f'(x) = (x^2 - 6x + 5)' = 2x - 6$.

При $x < 0$: $f'(x) = (x^2 + 6x + 5)' = 2x + 6$.

Вычислим значения производной в заданных точках.

В точке $x_1 = -2$ (поскольку $-2 < 0$, используем вторую формулу):

$f'(-2) = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.

В точке $x_2 = 2$ (поскольку $2 > 0$, используем первую формулу):

$f'(2) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2$.

Ответ: $f'(-2) = 2$; $f'(2) = -2$.

2) $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$

Для раскрытия модуля определим знаки выражения, стоящего под модулем. Для этого решим уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Используя теорему Виета или разложение на множители, получаем: $(x-1)(x-5)=0$. Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=5$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 6x + 5 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$ и $x^2 - 6x + 5 < 0$ при $x \in (1, 5)$.

Таким образом, функцию $f(x)$ можно записать в виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 5, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty) \\ -(x^2 - 6x + 5) = -x^2 + 6x - 5, & \text{если } x \in (1, 5) \end{cases}$

Найдем производную для каждого интервала:

При $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$: $f'(x) = (x^2 - 6x + 5)' = 2x - 6$.

При $x \in (1, 5)$: $f'(x) = (-x^2 + 6x - 5)' = -2x + 6$.

Вычислим значения производной в заданных точках.

В точке $x_1 = -2$ (поскольку $-2 \in (-\infty, 1)$, используем первую формулу):

$f'(-2) = 2(-2) - 6 = -4 - 6 = -10$.

В точке $x_2 = 2$ (поскольку $2 \in (1, 5)$, используем вторую формулу):

$f'(2) = -2(2) + 6 = -4 + 6 = 2$.

Ответ: $f'(-2) = -10$; $f'(2) = 2$.

39.26. Докажите, что производная периодической функции является периодической функцией. Приведите примеры.

Докажите, что производная периодической функции является периодической функцией.

Пусть $f(x)$ — дифференцируемая периодическая функция с периодом $T$, где $T \neq 0$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x + T) = f(x)$

Поскольку это равенство является тождеством (верно для любого $x$), мы можем продифференцировать обе его части по переменной $x$.

Производная правой части:

$(f(x))' = f'(x)$

Для нахождения производной левой части воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть $g(x) = x+T$, тогда левая часть имеет вид $f(g(x))$.

$(f(x+T))' = f'(x+T) \cdot (x+T)' = f'(x+T) \cdot 1 = f'(x+T)$

Приравнивая производные левой и правой частей исходного тождества, получаем:

$f'(x+T) = f'(x)$

Это равенство по определению означает, что функция $f'(x)$ является периодической с тем же периодом $T$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Приведите примеры.

1. Функция $f(x) = \sin(x)$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.
Ее производная $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$. Функция $y = \cos(x)$ также является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.

2. Функция $f(x) = \tan(x)$ является периодической с основным периодом $T = \pi$.
Ее производная $f'(x) = (\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$. Функция $y = \frac{1}{\cos^2(x)}$ также является периодической. Ее основной период равен периоду функции $y = \cos^2(x)$, который составляет $T = \pi$.

3. Функция $f(x) = \cos(5x)$ является периодической с основным периодом $T = \frac{2\pi}{5}$.
Ее производная $f'(x) = (\cos(5x))' = -5\sin(5x)$. Функция $y = -5\sin(5x)$ также является периодической с основным периодом $T = \frac{2\pi}{5}$.

Ответ: Примеры приведены выше.

39.27. Докажите, что производная чётной функции является нечётной функцией. Приведите примеры.

Доказательство

Пусть функция $f(x)$ является чётной. По определению чётной функции, для любого $x$ из её области определения выполняется равенство:
$f(-x) = f(x)$

Продифференцируем обе части этого равенства по $x$.
Левая часть: чтобы найти производную от $f(-x)$, используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = -x$, тогда $(f(u))' = f'(u) \cdot u'$. В нашем случае $u' = (-x)' = -1$. Таким образом, производная левой части равна:
$(f(-x))' = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

Правая часть: производная от $f(x)$ по $x$ равна $f'(x)$.
$(f(x))' = f'(x)$

Приравнивая производные левой и правой частей, получаем:
$-f'(-x) = f'(x)$

Умножим обе части равенства на $-1$:
$f'(-x) = -f'(x)$

Это равенство является определением нечётной функции для функции $f'(x)$. Следовательно, производная чётной функции является нечётной функцией.
Что и требовалось доказать.

Примеры

1. Рассмотрим чётную функцию $f(x) = x^2$.

   Проверим, что она чётная: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.

   Найдём её производную: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

   Проверим, является ли производная $f'(x) = 2x$ нечётной функцией:
   $f'(-x) = 2(-x) = -2x = -f'(x)$.

   Равенство выполняется, значит, функция $f'(x) = 2x$ является нечётной.

   Ответ: Производная чётной функции $f(x) = x^2$ есть нечётная функция $f'(x) = 2x$.

2. Рассмотрим чётную функцию $f(x) = \cos(x)$.

   Проверим, что она чётная: $f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)$.

   Найдём её производную: $f'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

   Проверим, является ли производная $f'(x) = -\sin(x)$ нечётной функцией:
   $f'(-x) = -\sin(-x) = -(-\sin(x)) = \sin(x)$.
   $-f'(x) = -(-\sin(x)) = \sin(x)$.
   Так как $f'(-x) = -f'(x)$, функция является нечётной.

   Ответ: Производная чётной функции $f(x) = \cos(x)$ есть нечётная функция $f'(x) = -\sin(x)$.

3. Рассмотрим чётную функцию $f(x) = x^4 - 5x^2 + 10$.

   Проверим, что она чётная: $f(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 10 = x^4 - 5x^2 + 10 = f(x)$.

   Найдём её производную: $f'(x) = (x^4 - 5x^2 + 10)' = 4x^3 - 10x$.

   Проверим, является ли производная $f'(x) = 4x^3 - 10x$ нечётной функцией:
   $f'(-x) = 4(-x)^3 - 10(-x) = -4x^3 + 10x = -(4x^3 - 10x) = -f'(x)$.

   Равенство выполняется, значит, функция $f'(x) = 4x^3 - 10x$ является нечётной.

   Ответ: Производная чётной функции $f(x) = x^4 - 5x^2 + 10$ есть нечётная функция $f'(x) = 4x^3 - 10x$.

39.28 Докажите, что производная нечётной функции является чётной функцией. Приведите примеры.

Доказательство

Пусть дана дифференцируемая нечётная функция $f(x)$. По определению нечётной функции, для любого $x$ из её области определения (которая симметрична относительно нуля) выполняется равенство:

$f(-x) = -f(x)$

Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$.

Производная левой части находится по правилу дифференцирования сложной функции. Пусть $g(x) = -x$, тогда $f(-x) = f(g(x))$.

$(f(-x))' = f'(-x) \cdot (-x)' = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

Производная правой части находится как производная произведения константы на функцию:

$(-f(x))' = -1 \cdot f'(x) = -f'(x)$

Приравнивая полученные производные, получаем:

$-f'(-x) = -f'(x)$

Умножим обе части равенства на $-1$:

$f'(-x) = f'(x)$

Полученное равенство является определением чётной функции. Следовательно, производная $f'(x)$ является чётной функцией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Примеры

1. Функция $f(x) = x^3$ является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
Её производная $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Функция $f'(x) = 3x^2$ является чётной, так как $f'(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = f'(x)$.

2. Функция $f(x) = \sin(x)$ является нечётной, так как $f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$.
Её производная $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
Функция $f'(x) = \cos(x)$ является чётной, так как $f'(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f'(x)$.

3. Функция $f(x) = x^5 + 2x$ является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^5 + 2(-x) = -x^5 - 2x = -(x^5 + 2x) = -f(x)$.
Её производная $f'(x) = (x^5 + 2x)' = 5x^4 + 2$.
Функция $f'(x) = 5x^4 + 2$ является чётной, так как $f'(-x) = 5(-x)^4 + 2 = 5x^4 + 2 = f'(x)$.

Ответ: Примеры приведены.

39.29. Функции $f$ и $g$ определены на $\mathbb{R}$. Что можно утверждать о дифференцируемости функции $y = f(x) + g(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f$ дифференцируема в точке $x_0$, а $g$ — нет;

2) $f$ и $g$ не дифференцируемы в точке $x_0$?

1) f дифференцируема в точке x₀, а g — нет;

Пусть функция $y(x) = f(x) + g(x)$. Дано, что функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, а функция $g(x)$ не дифференцируема в этой точке.

Докажем от противного. Предположим, что функция $y(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Тогда мы можем выразить функцию $g(x)$ через $f(x)$ и $y(x)$:

$g(x) = y(x) - f(x)$

Мы знаем, что если две функции дифференцируемы в некоторой точке, то их разность также дифференцируема в этой точке. В нашем случае:

• функция $y(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ (по нашему предположению);
• функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ (по условию).

Следовательно, их разность, функция $g(x)$, должна быть дифференцируема в точке $x_0$. Но это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0$.

Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным. Функция $y(x) = f(x) + g(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0$.

Ответ: функция $y = f(x) + g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0$.

2) f и g не дифференцируемы в точке x₀?

В этом случае о дифференцируемости функции $y(x) = f(x) + g(x)$ в точке $x_0$ ничего определенного утверждать нельзя. Сумма может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой. Рассмотрим примеры для точки $x_0 = 0$.

Пример 1: Сумма не дифференцируема.

Пусть $f(x) = |x|$ и $g(x) = |x|$. Обе эти функции не дифференцируемы в точке $x_0 = 0$.
Их сумма: $y(x) = f(x) + g(x) = |x| + |x| = 2|x|$.
Функция $y(x) = 2|x|$ также не дифференцируема в точке $x_0 = 0$, так как ее график имеет в этой точке излом (односторонние производные не равны: $y'_-(0) = -2$, а $y'_+(0) = 2$).

Пример 2: Сумма дифференцируема.

Пусть $f(x) = |x|$ и $g(x) = -|x|$. Обе эти функции не дифференцируемы в точке $x_0 = 0$.
Их сумма: $y(x) = f(x) + g(x) = |x| + (-|x|) = 0$.
Функция $y(x) = 0$ (константа) дифференцируема на всей числовой оси, включая точку $x_0 = 0$. Ее производная в этой точке равна $0$.

Поскольку существуют примеры, приводящие к разным результатам, сделать однозначный вывод о дифференцируемости суммы невозможно.

Ответ: функция $y = f(x) + g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и не дифференцируемой в точке $x_0$.