gdz.top
Номер 39.28, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 39. Правила вычисления производных - номер 39.28, страница 303.
№39.27
№39.28 (с. 303)
Условие. №39.28 (с. 303)
39.28 Докажите, что производная нечётной функции является чётной функцией. Приведите примеры.
Решение. №39.28 (с. 303)
Доказательство
Пусть дана дифференцируемая нечётная функция $f(x)$. По определению нечётной функции, для любого $x$ из её области определения (которая симметрична относительно нуля) выполняется равенство:
$f(-x) = -f(x)$
Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$.
Производная левой части находится по правилу дифференцирования сложной функции. Пусть $g(x) = -x$, тогда $f(-x) = f(g(x))$.
$(f(-x))' = f'(-x) \cdot (-x)' = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$
Производная правой части находится как производная произведения константы на функцию:
$(-f(x))' = -1 \cdot f'(x) = -f'(x)$
Приравнивая полученные производные, получаем:
$-f'(-x) = -f'(x)$
Умножим обе части равенства на $-1$:
$f'(-x) = f'(x)$
Полученное равенство является определением чётной функции. Следовательно, производная $f'(x)$ является чётной функцией. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Примеры
1. Функция $f(x) = x^3$ является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
Её производная $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Функция $f'(x) = 3x^2$ является чётной, так как $f'(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = f'(x)$.
2. Функция $f(x) = \sin(x)$ является нечётной, так как $f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$.
Её производная $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
Функция $f'(x) = \cos(x)$ является чётной, так как $f'(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f'(x)$.
3. Функция $f(x) = x^5 + 2x$ является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^5 + 2(-x) = -x^5 - 2x = -(x^5 + 2x) = -f(x)$.
Её производная $f'(x) = (x^5 + 2x)' = 5x^4 + 2$.
Функция $f'(x) = 5x^4 + 2$ является чётной, так как $f'(-x) = 5(-x)^4 + 2 = 5x^4 + 2 = f'(x)$.
Ответ: Примеры приведены.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 39.28 расположенного на странице 303 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №39.28 (с. 303), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.