Номер 39.32, страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.32. Вычислите сумму $S = 4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots + 29 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$.

Для вычисления данной суммы $S$ воспользуемся методом, основанным на свойствах арифметико-геометрических прогрессий. Запишем исходную сумму:

$S = 4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots + 29 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$

Умножим обе части этого равенства на 4:

$4S = 4 \cdot (4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots - 30 \cdot 4)$

$4S = 4^{31} - 2 \cdot 4^{30} + 3 \cdot 4^{29} - \dots - 30 \cdot 4^2$

Теперь сложим исходное выражение для $S$ и полученное выражение для $4S$. Для наглядности сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями числа 4:

$S + 4S = (4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots) + (4^{31} - 2 \cdot 4^{30} + 3 \cdot 4^{29} - \dots)$

$5S = 4^{31} + (1-2) \cdot 4^{30} + (-2+3) \cdot 4^{29} + (3-4) \cdot 4^{28} + \dots + (29-30) \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$

Упростим коэффициенты в скобках:

$5S = 4^{31} - 1 \cdot 4^{30} + 1 \cdot 4^{29} - 1 \cdot 4^{28} + \dots - 1 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$

$5S = 4^{31} - 4^{30} + 4^{29} - 4^{28} + \dots - 4^2 - 120$

Часть полученного выражения, а именно $4^{31} - 4^{30} + 4^{29} - \dots - 4^2$, представляет собой сумму конечной геометрической прогрессии. Найдем эту сумму. Перепишем ее, начиная с меньшей степени:

$-4^2 + 4^3 - 4^4 + \dots - 4^{30} + 4^{31}$

Это геометрическая прогрессия, у которой:

• первый член $b_1 = -4^2 = -16$
• знаменатель $q = \frac{4^3}{-4^2} = -4$
• число членов $n = 31 - 2 + 1 = 30$

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. Подставим наши значения:

$S_{30} = \frac{-16 \cdot ((-4)^{30} - 1)}{-4 - 1} = \frac{-16 \cdot (4^{30} - 1)}{-5} = \frac{16(4^{30} - 1)}{5}$

Теперь подставим найденную сумму обратно в выражение для $5S$:

$5S = \frac{16(4^{30} - 1)}{5} - 120$

Приведем к общему знаменателю:

$5S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 16}{5} - \frac{120 \cdot 5}{5}$

$5S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 16 - 600}{5}$

$5S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 616}{5}$

Чтобы найти $S$, разделим обе части на 5:

$S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 616}{25}$

Упростим числитель, заметив, что $16 = 4^2$:

$S = \frac{4^2 \cdot 4^{30} - 616}{25} = \frac{4^{32} - 616}{25}$

Ответ: $S = \frac{4^{32} - 616}{25}$.