gdz.top
Номер 40.5, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 40. Уравнение касательной - номер 40.5, страница 306.
№40.4
№40.5 (с. 306)
Условие. №40.5 (с. 306)
40.5. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:
1) $f(x)=8x^3-1$;
2) $f(x)=x-\frac{1}{x}$
Решение. №40.5 (с. 306)
Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала найдем точку пересечения графика функции с осью абсцисс. В этой точке значение функции равно нулю, то есть $f(x_0) = 0$.
$8x_0^3 - 1 = 0$
$8x_0^3 = 1$
$x_0^3 = \frac{1}{8}$
$x_0 = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$
Итак, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}, 0)$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (8x^3 - 1)' = 8 \cdot 3x^2 - 0 = 24x^2$.
Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{2}$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$f'(x_0) = f'(\frac{1}{2}) = 24 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$.
Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{2}$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 6$ в общее уравнение касательной:
$y = 0 + 6(x - \frac{1}{2})$
$y = 6x - 3$.
Ответ: $y = 6x - 3$.
Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, решив уравнение $f(x) = 0$:
$x - \frac{1}{x} = 0$
Приведем к общему знаменателю (при условии $x \neq 0$):
$\frac{x^2 - 1}{x} = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Следовательно, нужно составить уравнения для двух касательных.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - \frac{1}{x})' = (x - x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.
Случай 1: Точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.
Координаты точки: $(1, 0)$, так как $f(1)=0$.
Найдем угловой коэффициент касательной:
$f'(1) = 1 + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2$.
Составим уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 2(x - 1)$
$y = 2x - 2$.
Случай 2: Точка касания с абсциссой $x_0 = -1$.
Координаты точки: $(-1, 0)$, так как $f(-1)=0$.
Найдем угловой коэффициент касательной:
$f'(-1) = 1 + \frac{1}{(-1)^2} = 1 + \frac{1}{1} = 2$.
Составим уравнение касательной:
$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$
$y = 0 + 2(x + 1)$
$y = 2x + 2$.
Ответ: $y = 2x - 2$ и $y = 2x + 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 40.5 расположенного на странице 306 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №40.5 (с. 306), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.