Страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Запишите общий вид уравнения касательной к графику функции в данной точке.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ — это уравнение прямой, которая проходит через точку касания и имеет такой же наклон, как и график функции в этой точке.

Для того чтобы записать это уравнение, необходимо определить два ключевых параметра:

1. Координаты точки касания. Так как точка касания лежит на графике функции $y = f(x)$, её абсцисса равна $x_0$, а ордината — значению функции в этой точке, то есть $y_0 = f(x_0)$. Таким образом, точка касания имеет координаты $(x_0; f(x_0))$.

2. Угловой коэффициент касательной. Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Обозначим угловой коэффициент как $k$. Тогда $k = f'(x_0)$.

Используя каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с угловым коэффициентом $k$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим в него наши значения $y_0 = f(x_0)$ и $k = f'(x_0)$:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Выразив $y$, мы получаем итоговую формулу.

Ответ: Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

40.1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^2 + 3x, x_0 = -1;$

2) $f(x) = 4\sqrt{x} - 3, x_0 = 9;$

3) $f(x) = \sin x, x_0 = 0;$

4) $f(x) = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{2};$

5) $f(x) = \frac{x}{x+1}, x_0 = -2;$

6) $f(x) = \sqrt{2x+5}, x_0 = 2.$

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке (тангенс угла наклона касательной).

1) $f(x) = x^2 + 3x, x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = 1 - 3 = -2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = -2$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = -1$ в уравнение касательной:
$y = -2 + 1 \cdot (x - (-1))$
$y = -2 + (x + 1)$
$y = x - 1$.

Ответ: $y = x - 1$.

2) $f(x) = 4\sqrt{x} - 3, x_0 = 9$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 9$:
$f(9) = 4\sqrt{9} - 3 = 4 \cdot 3 - 3 = 12 - 3 = 9$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4\sqrt{x} - 3)' = (4x^{1/2} - 3)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 9$:
$f'(9) = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 9$, $f'(x_0) = \frac{2}{3}$ и $x_0 = 9$ в уравнение касательной:
$y = 9 + \frac{2}{3}(x - 9)$
$y = 9 + \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} \cdot 9$
$y = 9 + \frac{2}{3}x - 6$
$y = \frac{2}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 3$.

3) $f(x) = \sin x, x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \cos 0 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = 0$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.

Ответ: $y = x$.

4) $f(x) = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4}), x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f(\frac{\pi}{2}) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило производной сложной функции):
$f'(x) = (\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 1$, $f'(x_0) = 2$ и $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 2(x - \frac{\pi}{2})$
$y = 1 + 2x - 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$y = 1 + 2x - \pi$
$y = 2x + 1 - \pi$.

Ответ: $y = 2x + 1 - \pi$.

5) $f(x) = \frac{x}{x+1}, x_0 = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = \frac{-2}{-2+1} = \frac{-2}{-1} = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило производной частного):
$f'(x) = (\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{1}{(-2+1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = -2$ в уравнение касательной:
$y = 2 + 1 \cdot (x - (-2))$
$y = 2 + (x + 2)$
$y = x + 4$.

Ответ: $y = x + 4$.

6) $f(x) = \sqrt{2x+5}, x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило производной сложной функции):
$f'(x) = (\sqrt{2x+5})' = \frac{1}{2\sqrt{2x+5}} \cdot (2x+5)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+5}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 5}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 3$, $f'(x_0) = \frac{1}{3}$ и $x_0 = 2$ в уравнение касательной:
$y = 3 + \frac{1}{3}(x - 2)$
$y = 3 + \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{9}{3} - \frac{2}{3}$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

40.2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = 2x^3 - 3x$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

3) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x}$, $x_0 = -1$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}$, $x_0 = 3$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

40.3. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = x^2 - 3x - 3;$

2) $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right).$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательную нужно провести в точке пересечения графика с осью ординат. Абсцисса такой точки всегда равна нулю, то есть $x_0 = 0$.

1. Найдём координаты точки касания.
Абсцисса точки касания $x_0 = 0$.
Ордината точки касания $y_0 = f(x_0) = f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка касания — $(0; -3)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 3x - 3)' = 2x - 3$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной:
$k = f'(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = -3$ и $f'(x_0) = -3$ в уравнение касательной:
$y = -3 + (-3)(x - 0)$
$y = -3x - 3$

Ответ: $y = -3x - 3$.

1. Найдём координаты точки касания.
Абсцисса точки касания $x_0 = 0$.
Ордината точки касания $y_0 = f(0) = \cos\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку косинус — чётная функция ($\cos(-a) = \cos(a)$), получаем:
$y_0 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
Таким образом, точка касания — $\left(0; \frac{1}{2}\right)$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку синус — нечётная функция ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:
$k = -\frac{1}{2}\left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0)$
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.

40.4. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = 2x^3 - 5x + 2;$

2) $f(x) = \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right).$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Точка пересечения графика функции с осью ординат имеет абсциссу $x_0 = 0$.

1) Для функции $f(x) = 2x^3 - 5x + 2$.
1. Находим значение функции в точке касания $x_0 = 0$:
$f(0) = 2 \cdot 0^3 - 5 \cdot 0 + 2 = 2$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^3 - 5x + 2)' = 6x^2 - 5$.
3. Находим значение производной в точке касания, которое равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(0) = 6 \cdot 0^2 - 5 = -5$.
4. Подставляем найденные значения $x_0 = 0$, $f(0) = 2$ и $f'(0) = -5$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-5)(x - 0)$
$y = -5x + 2$.
Ответ: $y = -5x + 2$.

2) Для функции $f(x) = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$.
1. Находим значение функции в точке касания $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Находим производную функции как производную сложной функции:
$f'(x) = (\sin(3x - \frac{\pi}{4}))' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.
3. Находим значение производной в точке касания:
$f'(0) = 3\cos(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(-\frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
4. Подставляем найденные значения $x_0 = 0$, $f(0) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(0) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ в уравнение касательной:
$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}(x - 0)$
$y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

40.5. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x)=8x^3-1$;

2) $f(x)=x-\frac{1}{x}$

40.6. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1};$

2) $f(x) = 3x - x^2.$

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем точку пересечения графика функции $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$ с осью абсцисс. Для этого решим уравнение $f(x) = 0$:

$\frac{x-1}{x^2+1} = 0$

Так как знаменатель $x^2+1 > 0$ для любого действительного $x$, то дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, точка касания $x_0 = 1$. Значение функции в этой точке $f(1) = 0$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{-1^2+2 \cdot 1+1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1+2+1}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=\frac{1}{2}$ в общее уравнение касательной:

$y = 0 + \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

2) Для функции $f(x) = 3x - x^2$ найдем точки пересечения с осью абсцисс:

$f(x) = 0$

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

Получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Значит, нужно найти уравнения касательных в двух точках.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: точка касания $x_0 = 0$.

Значение функции в этой точке: $f(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 = 0$.

Значение производной в этой точке: $f'(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$.

Уравнение касательной:

$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$

$y = 0 + 3(x - 0)$

$y = 3x$

Случай 2: точка касания $x_0 = 3$.

Значение функции в этой точке: $f(3) = 3 \cdot 3 - 3^2 = 9 - 9 = 0$.

Значение производной в этой точке: $f'(3) = 3 - 2 \cdot 3 = 3 - 6 = -3$.

Уравнение касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$

$y = 0 + (-3)(x - 3)$

$y = -3x + 9$

Ответ: $y = 3x$ и $y = -3x + 9$.