Номер 40.2, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $f(x) = 2x^3 - 3x$, $x_0 = 1$

1. Найдём значение функции в точке касания:

$f(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (2x^3 - 3x)' = 6x^2 - 3$.

3. Найдём значение производной в точке касания:

$f'(1) = 6 \cdot 1^2 - 3 = 3$.

4. Составим уравнение касательной, подставив $x_0=1$, $f(x_0)=-1$, $f'(x_0)=3$:

$y = -1 + 3(x - 1)$

$y = -1 + 3x - 3$

$y = 3x - 4$

Ответ: $y = 3x - 4$.

2) $f(x) = \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. Найдём значение функции в точке касания:

$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдём значение производной в точке касания:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

4. Составим уравнение касательной, подставив $x_0=\frac{\pi}{2}$, $f(x_0)=0$, $f'(x_0)=-1$:

$y = 0 - 1 \cdot (x - \frac{\pi}{2})$

$y = -x + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

3) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x}$, $x_0 = -1$

1. Найдём значение функции в точке касания:

$f(-1) = \sqrt{4(-1)^2 + 3(-1)} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.

2. Найдём производную функции по правилу производной сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{4x^2 + 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 3x}} \cdot (4x^2 + 3x)' = \frac{8x + 3}{2\sqrt{4x^2 + 3x}}$.

3. Найдём значение производной в точке касания:

$f'(-1) = \frac{8(-1) + 3}{2\sqrt{4(-1)^2 + 3(-1)}} = \frac{-8 + 3}{2\sqrt{1}} = -\frac{5}{2}$.

4. Составим уравнение касательной, подставив $x_0=-1$, $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=-\frac{5}{2}$:

$y = 1 - \frac{5}{2}(x - (-1))$

$y = 1 - \frac{5}{2}(x + 1)$

$y = 1 - \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}$

$y = -\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$

Ответ: $y = -2.5x - 1.5$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}$, $x_0 = 3$

1. Найдём значение функции в точке касания:

$f(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3}{3 - 2} = \frac{9 - 12}{1} = -3$.

2. Найдём производную функции по правилу производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2 - 4x)'(x - 2) - (x^2 - 4x)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x) \cdot 1}{(x - 2)^2}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x) = (2x^2 - 4x - 4x + 8) - x^2 + 4x = x^2 - 4x + 8$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 8}{(x - 2)^2}$.

3. Найдём значение производной в точке касания:

$f'(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 8}{(3 - 2)^2} = \frac{9 - 12 + 8}{1^2} = 5$.

4. Составим уравнение касательной, подставив $x_0=3$, $f(x_0)=-3$, $f'(x_0)=5$:

$y = -3 + 5(x - 3)$

$y = -3 + 5x - 15$

$y = 5x - 18$

Ответ: $y = 5x - 18$.