Номер 39.30, страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.30. Функции $f$ и $g$ определены на $\mathbf{R}$. Что можно утверждать о дифференцируемости функции $y = f(x)g(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f$ дифференцируема в точке $x_0$, а $g$ — нет;

2) $f$ и $g$ не дифференцируемы в точке $x_0$?

1) f дифференцируема в точке x₀, а g — нет;

В общем случае, о дифференцируемости функции $y(x) = f(x)g(x)$ в точке $x_0$ ничего определенного утверждать нельзя. Она может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой. Результат зависит от значения функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $f(x_0) \neq 0$

В этом случае функция $y(x) = f(x)g(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0$.

Докажем это от противного. Предположим, что функция $y(x) = f(x)g(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Поскольку функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и $f(x_0) \neq 0$, то в некоторой окрестности точки $x_0$ функция $f(x)$ также не равна нулю. Тогда мы можем выразить функцию $g(x)$ как частное двух функций: $g(x) = \frac{y(x)}{f(x)}$.

По нашему предположению, $y(x)$ дифференцируема в $x_0$. По условию, $f(x)$ дифференцируема в $x_0$. Согласно правилу дифференцирования частного, функция $g(x)$ должна быть дифференцируема в точке $x_0$. Однако это противоречит условию задачи, по которому $g(x)$ не дифференцируема в $x_0$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и функция $y(x)$ не может быть дифференцируемой в точке $x_0$.

Случай 2: $f(x_0) = 0$

В этом случае функция $y(x) = f(x)g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой в точке $x_0$. Приведем примеры для обеих ситуаций.

Пример, когда произведение дифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = x$ и $g(x) = |x|$.
Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0=0$ ($f'(x)=1$) и $f(0)=0$.
Функция $g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0=0$.
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = x|x|$. Найдем производную этой функции в точке $x_0=0$ по определению:$y'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(0 + \Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x |\Delta x| - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0.$
Предел существует и конечен, следовательно, функция $y(x)$ дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

Пример, когда произведение недифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = x$, а $g(x)$ — функция Хевисайда: $g(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \ge 0 \end{cases}$.
Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0=0$ и $f(0)=0$.
Функция $g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0=0$ (в этой точке у нее разрыв).
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = x \cdot g(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases}$.
Найдем левую и правую производные в точке $x_0=0$:
Производная слева: $y'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{y(\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0.$
Производная справа: $y'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{y(\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x} = 1.$
Так как левая и правая производные не равны ($0 \neq 1$), функция $y(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

Ответ: Функция $y=f(x)g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой в точке $x_0$. Если $f(x_0) \neq 0$, то функция $y(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0$. Если $f(x_0) = 0$, то возможны оба случая.

2) f и g не дифференцируемы в точке x₀?

В этом случае, как и в предыдущем, ничего определенного утверждать нельзя. Произведение двух недифференцируемых в точке функций может быть как дифференцируемым, так и недифференцируемым в этой точке. Рассмотрим примеры.

Пример, когда произведение дифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = |x|$ и $g(x) = |x|$.
Обе функции не являются дифференцируемыми в точке $x_0=0$.
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = |x| \cdot |x| = x^2$.
Функция $y(x)=x^2$ дифференцируема всюду, в том числе и в точке $x_0 = 0$, где ее производная $y'(0) = 0$.

Другой пример: пусть $f(x)$ — функция Хевисайда, а $g(x) = 1 - f(x)$. Обе функции недифференцируемы в $x_0=0$. Их произведение:$y(x) = f(x)(1-f(x))$.
Если $x<0$, то $f(x)=0$, и $y(x) = 0(1-0) = 0$.
Если $x\ge0$, то $f(x)=1$, и $y(x) = 1(1-1) = 0$.
Таким образом, $y(x) = 0$ для всех $x$. Эта функция является константой и дифференцируема везде.

Пример, когда произведение недифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = |x|$ и $g(x) = |x|+1$.
Обе функции не являются дифференцируемыми в точке $x_0=0$.
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = |x|(|x|+1) = x^2 + |x|$.
Найдем производную этой функции в точке $x_0=0$ по определению:$y'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^2 + |\Delta x| - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\Delta x + \frac{|\Delta x|}{\Delta x}\right).$
Предел от $\frac{|\Delta x|}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$ не существует (он равен $1$ справа и $-1$ слева). Следовательно, и весь предел не существует, а значит функция $y(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

Ответ: Функция $y=f(x)g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой в точке $x_0$.