Номер 39.24, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.24. В точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$ найдите производную функции:

1) $f(x)=x^2-4|x|+3;$

2) $f(x)=|x^2-4x+3|$.

1) $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$

Данная функция содержит модуль от аргумента $x$. Чтобы найти ее производную, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Когда $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4x + 3$

Производная для этого случая равна:

$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$

Когда $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$

Производная для этого случая равна:

$f'(x) = (x^2 + 4x + 3)' = 2x + 4$

Теперь можем найти значения производной в указанных точках.

Для точки $x_1 = -1$:

Поскольку $-1 < 0$, используем производную $f'(x) = 2x + 4$.

$f'(-1) = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$

Для точки $x_2 = 2$:

Поскольку $2 \ge 0$, используем производную $f'(x) = 2x - 4$.

$f'(2) = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

Ответ: $f'(-1) = 2$; $f'(2) = 0$.

2) $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$

В этом случае модуль применяется ко всему выражению. Чтобы найти производную, необходимо определить интервалы, на которых подмодульное выражение $x^2 - 4x + 3$ является положительным или отрицательным.

Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$, и $x^2 - 4x + 3 < 0$ при $x \in (1, 3)$.

Это позволяет записать функцию $f(x)$ в кусочно-заданном виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \\ -(x^2 - 4x + 3), & \text{если } x \in (1, 3) \end{cases}$

Теперь найдём производную для каждого из интервалов (в точках $x=1$ и $x=3$ производная не существует, так как это точки излома графика).

Если $x < 1$ или $x > 3$, то $f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.

Если $1 < x < 3$, то $f(x) = -x^2 + 4x - 3$, и соответственно $f'(x) = (-x^2 + 4x - 3)' = -2x + 4$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

Для точки $x_1 = -1$:

Эта точка принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$, поэтому используем производную $f'(x) = 2x - 4$.

$f'(-1) = 2(-1) - 4 = -2 - 4 = -6$

Для точки $x_2 = 2$:

Эта точка принадлежит интервалу $(1, 3)$, поэтому используем производную $f'(x) = -2x + 4$.

$f'(2) = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0$

Ответ: $f'(-1) = -6$; $f'(2) = 0$.