gdz.top
Номер 39.26, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 39. Правила вычисления производных - номер 39.26, страница 303.
№39.25
№39.26 (с. 303)
Условие. №39.26 (с. 303)
39.26. Докажите, что производная периодической функции является периодической функцией. Приведите примеры.
Решение. №39.26 (с. 303)
Докажите, что производная периодической функции является периодической функцией.
Пусть $f(x)$ — дифференцируемая периодическая функция с периодом $T$, где $T \neq 0$.
По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:
$f(x + T) = f(x)$
Поскольку это равенство является тождеством (верно для любого $x$), мы можем продифференцировать обе его части по переменной $x$.
Производная правой части:
$(f(x))' = f'(x)$
Для нахождения производной левой части воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть $g(x) = x+T$, тогда левая часть имеет вид $f(g(x))$.
$(f(x+T))' = f'(x+T) \cdot (x+T)' = f'(x+T) \cdot 1 = f'(x+T)$
Приравнивая производные левой и правой частей исходного тождества, получаем:
$f'(x+T) = f'(x)$
Это равенство по определению означает, что функция $f'(x)$ является периодической с тем же периодом $T$. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.
Приведите примеры.
1. Функция $f(x) = \sin(x)$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.
Ее производная $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$. Функция $y = \cos(x)$ также является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.
2. Функция $f(x) = \tan(x)$ является периодической с основным периодом $T = \pi$.
Ее производная $f'(x) = (\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$. Функция $y = \frac{1}{\cos^2(x)}$ также является периодической. Ее основной период равен периоду функции $y = \cos^2(x)$, который составляет $T = \pi$.
3. Функция $f(x) = \cos(5x)$ является периодической с основным периодом $T = \frac{2\pi}{5}$.
Ее производная $f'(x) = (\cos(5x))' = -5\sin(5x)$. Функция $y = -5\sin(5x)$ также является периодической с основным периодом $T = \frac{2\pi}{5}$.
Ответ: Примеры приведены выше.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 39.26 расположенного на странице 303 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №39.26 (с. 303), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.