Номер 39.27, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.27. Докажите, что производная чётной функции является нечётной функцией. Приведите примеры.

Доказательство

Пусть функция $f(x)$ является чётной. По определению чётной функции, для любого $x$ из её области определения выполняется равенство:
$f(-x) = f(x)$

Продифференцируем обе части этого равенства по $x$.
Левая часть: чтобы найти производную от $f(-x)$, используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = -x$, тогда $(f(u))' = f'(u) \cdot u'$. В нашем случае $u' = (-x)' = -1$. Таким образом, производная левой части равна:
$(f(-x))' = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

Правая часть: производная от $f(x)$ по $x$ равна $f'(x)$.
$(f(x))' = f'(x)$

Приравнивая производные левой и правой частей, получаем:
$-f'(-x) = f'(x)$

Умножим обе части равенства на $-1$:
$f'(-x) = -f'(x)$

Это равенство является определением нечётной функции для функции $f'(x)$. Следовательно, производная чётной функции является нечётной функцией.
Что и требовалось доказать.

Примеры

1. Рассмотрим чётную функцию $f(x) = x^2$.

   Проверим, что она чётная: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.

   Найдём её производную: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

   Проверим, является ли производная $f'(x) = 2x$ нечётной функцией:
   $f'(-x) = 2(-x) = -2x = -f'(x)$.

   Равенство выполняется, значит, функция $f'(x) = 2x$ является нечётной.

   Ответ: Производная чётной функции $f(x) = x^2$ есть нечётная функция $f'(x) = 2x$.

2. Рассмотрим чётную функцию $f(x) = \cos(x)$.

   Проверим, что она чётная: $f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)$.

   Найдём её производную: $f'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

   Проверим, является ли производная $f'(x) = -\sin(x)$ нечётной функцией:
   $f'(-x) = -\sin(-x) = -(-\sin(x)) = \sin(x)$.
   $-f'(x) = -(-\sin(x)) = \sin(x)$.
   Так как $f'(-x) = -f'(x)$, функция является нечётной.

   Ответ: Производная чётной функции $f(x) = \cos(x)$ есть нечётная функция $f'(x) = -\sin(x)$.

3. Рассмотрим чётную функцию $f(x) = x^4 - 5x^2 + 10$.

   Проверим, что она чётная: $f(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 10 = x^4 - 5x^2 + 10 = f(x)$.

   Найдём её производную: $f'(x) = (x^4 - 5x^2 + 10)' = 4x^3 - 10x$.

   Проверим, является ли производная $f'(x) = 4x^3 - 10x$ нечётной функцией:
   $f'(-x) = 4(-x)^3 - 10(-x) = -4x^3 + 10x = -(4x^3 - 10x) = -f'(x)$.

   Равенство выполняется, значит, функция $f'(x) = 4x^3 - 10x$ является нечётной.

   Ответ: Производная чётной функции $f(x) = x^4 - 5x^2 + 10$ есть нечётная функция $f'(x) = 4x^3 - 10x$.