Номер 40.3, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.3. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = x^2 - 3x - 3;$

2) $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right).$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательную нужно провести в точке пересечения графика с осью ординат. Абсцисса такой точки всегда равна нулю, то есть $x_0 = 0$.

1. Найдём координаты точки касания.
Абсцисса точки касания $x_0 = 0$.
Ордината точки касания $y_0 = f(x_0) = f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка касания — $(0; -3)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 3x - 3)' = 2x - 3$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной:
$k = f'(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = -3$ и $f'(x_0) = -3$ в уравнение касательной:
$y = -3 + (-3)(x - 0)$
$y = -3x - 3$

Ответ: $y = -3x - 3$.

1. Найдём координаты точки касания.
Абсцисса точки касания $x_0 = 0$.
Ордината точки касания $y_0 = f(0) = \cos\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку косинус — чётная функция ($\cos(-a) = \cos(a)$), получаем:
$y_0 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
Таким образом, точка касания — $\left(0; \frac{1}{2}\right)$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку синус — нечётная функция ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:
$k = -\frac{1}{2}\left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0)$
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.