Номер 40.12, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.12. Докажите, что любая касательная к графику функции $f$ образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8$;

2) $f(x)=\frac{4}{1-x}$.

Угол $\alpha$, который образует касательная к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс, связан со значением производной в этой точке соотношением $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Касательная образует острый угол, если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом интервале тангенс угла положителен, то есть $\tan(\alpha) > 0$.

Таким образом, для доказательства утверждения задачи необходимо показать, что производная $f'(x)$ положительна для любого $x$ из области определения функции.

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8$

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^5 + 2x - 8)' = (x^5)' + (2x)' - (8)' = 5x^4 + 2$.

Исследуем знак производной. Выражение $x^4$ является четной степенью, поэтому $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, $5x^4 \ge 0$. Тогда $f'(x) = 5x^4 + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Поскольку $f'(x) \ge 2$, производная всегда положительна. Это означает, что тангенс угла наклона любой касательной к графику функции положителен, и, следовательно, угол наклона всегда острый.

Ответ: производная $f'(x) = 5x^4 + 2$ положительна при всех значениях $x$, поэтому любая касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

2) $f(x) = \frac{4}{1-x}$

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $1 - x \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{4}{1-x}\right)' = \frac{(4)' \cdot (1-x) - 4 \cdot (1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{0 \cdot (1-x) - 4 \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{4}{(1-x)^2}$.

Исследуем знак производной. Числитель дроби $4 > 0$. Знаменатель $(1-x)^2$ является квадратом ненулевого выражения (так как $x \neq 1$), поэтому он всегда строго положителен: $(1-x)^2 > 0$.

Отношение двух положительных чисел всегда положительно, следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что тангенс угла наклона любой касательной к графику функции положителен, и, следовательно, угол наклона всегда острый.

Ответ: производная $f'(x) = \frac{4}{(1-x)^2}$ положительна на всей области определения функции, поэтому любая касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.