Номер 40.13, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.13. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции:

1) $f(x) = x^3 - 3x + 1$;

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1$.

1) Для функции $f(x) = x^3 - 3x + 1$.
Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — константа. Угловой коэффициент такой прямой равен нулю.
Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти точки, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная функции $f'(x)$ равна нулю.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$.
2. Приравняем производную к нулю и найдем точки $x_0$:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем две точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
3. Теперь найдем ординаты (значения $y$) этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию. Эти ординаты и будут определять уравнения горизонтальных касательных.
Для $x_1 = 1$:
$y_1 = f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.
Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -1$.
Для $x_2 = -1$:
$y_2 = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$.
Следовательно, уравнение второй горизонтальной касательной: $y = 3$.
Ответ: $y = -1, y = 3$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1$.
Действуем по тому же алгоритму.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x$.
2. Приравняем производную к нулю:
$2x^3 - 8x = 0$
$2x(x^2 - 4) = 0$
$2x(x-2)(x+2) = 0$
Отсюда получаем три точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.
3. Найдем соответствующие ординаты точек касания.
Для $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - 4(0)^2 + 1 = 1$.
Уравнение первой горизонтальной касательной: $y = 1$.
Для $x_2 = 2$:
$y_2 = f(2) = \frac{1}{2}(2)^4 - 4(2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(16) - 4(4) + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$.
Для $x_3 = -2$:
$y_3 = f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 - 4(-2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(16) - 4(4) + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$.
Поскольку в точках $x=2$ и $x=-2$ ординаты одинаковы, они лежат на одной и той же горизонтальной прямой. Таким образом, у графика есть две различные горизонтальные касательные.
Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -7$.
Ответ: $y = 1, y = -7$.