Номер 39.15, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.15. Найдите производную функции:

1) $y = x\sqrt{x + 3};$

2) $y = \sin 2x \cos x;$

3) $y = (x + 2)^5(x - 3)^4.$

1) Для функции $y = x\sqrt{x+3}$ необходимо найти производную, используя правило производной произведения функций $(uv)' = u'v + uv'$. В данном случае, пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x+3}$.

Сначала найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x)' = 1$

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило производной сложной функции. Представим $v(x)$ как $(x+3)^{1/2}$:

$v'(x) = (\sqrt{x+3})' = ((x+3)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+3)' = \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x+3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = \sqrt{x+3} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}}$

Чтобы упростить выражение, приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x+3}$:

$y' = \frac{\sqrt{x+3} \cdot 2\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x+3}} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2(x+3) + x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2x + 6 + x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$

В числителе можно вынести общий множитель 3:

$y' = \frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}$

Ответ: $y' = \frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}$

2) Для нахождения производной функции $y = \sin 2x \cos x$ удобнее сначала упростить саму функцию, используя тригонометрическую формулу произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 2x$ и $\beta = x$:

$y = \frac{1}{2}(\sin(2x+x) + \sin(2x-x)) = \frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)$

Теперь найти производную от полученной суммы функций значительно проще:

$y' = \left(\frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)\right)' = \frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)'$

Используя правило дифференцирования суммы и производной сложной функции, получаем:

$y' = \frac{1}{2}((\sin(3x))' + (\sin x)') = \frac{1}{2}(\cos(3x) \cdot (3x)' + \cos x) = \frac{1}{2}(3\cos(3x) + \cos x)$

Раскрыв скобки, получаем окончательный ответ:

$y' = \frac{3}{2}\cos(3x) + \frac{1}{2}\cos x$

Ответ: $y' = \frac{3}{2}\cos(3x) + \frac{1}{2}\cos x$

3) Для функции $y = (x+2)^5(x-3)^4$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u(x)=(x+2)^5$ и $v(x)=(x-3)^4$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$, используя правило производной степенной функции для сложных функций:

$u'(x) = ((x+2)^5)' = 5(x+2)^{5-1} \cdot (x+2)' = 5(x+2)^4 \cdot 1 = 5(x+2)^4$

$v'(x) = ((x-3)^4)' = 4(x-3)^{4-1} \cdot (x-3)' = 4(x-3)^3 \cdot 1 = 4(x-3)^3$

Подставим эти производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 5(x+2)^4(x-3)^4 + (x+2)^5 \cdot 4(x-3)^3$

Для упрощения полученного выражения вынесем за скобки общие множители $(x+2)^4$ и $(x-3)^3$:

$y' = (x+2)^4(x-3)^3 [5(x-3) + 4(x+2)]

Теперь упростим выражение в квадратных скобках:

$5(x-3) + 4(x+2) = 5x - 15 + 4x + 8 = 9x - 7$

Таким образом, окончательное выражение для производной имеет вид:

$y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x - 7)$

Ответ: $y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x - 7)$