Номер 39.8, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x} - 16x, x_0 = \frac{1}{4}$;

2) $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}, x_0 = 0$;

3) $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}, x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 1}, x_0 = 1$.

Дана функция $f(x) = \sqrt{x} - 16x$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.

Чтобы вычислить значение производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования: производная разности функций равна разности производных, и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (\sqrt{x} - 16x)' = (x^{1/2})' - (16x)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 16 \cdot 1 = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 16 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 16$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{4}$ в найденное выражение для производной:

$f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} - 16 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} - 16 = \frac{1}{1} - 16 = -15$.

Ответ: -15

Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 1 - x$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (1 - x)' = -1$

Подставляем эти выражения в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(-\sin x)(1 - x) - (\cos x)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{-\sin x + x\sin x + \cos x}{(1 - x)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{-\sin 0 + 0 \cdot \sin 0 + \cos 0}{(1 - 0)^2} = \frac{-0 + 0 + 1}{1^2} = 1$.

Ответ: 1

Дана функция $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}$ и точка $x_0 = 2$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (x^{-2} - 4x^{-3})' = (x^{-2})' - (4x^{-3})' = -2x^{-2-1} - 4(-3)x^{-3-1} = -2x^{-3} + 12x^{-4}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = -2(2)^{-3} + 12(2)^{-4} = -\frac{2}{2^3} + \frac{12}{2^4} = -\frac{2}{8} + \frac{12}{16} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Дана функция $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 1}$ и точка $x_0 = 1$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = 2x^2 - 3x - 1$ и $v(x) = x + 1$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (2x^2 - 3x - 1)' = 4x - 3$

$v'(x) = (x + 1)' = 1$

Подставляем в формулу и упрощаем:

$f'(x) = \frac{(4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4x - 3x - 3 - 2x^2 + 3x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(x + 1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{2(1)^2 + 4(1) - 2}{(1 + 1)^2} = \frac{2 + 4 - 2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1