Номер 39.12, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Дана функция $y = (2x + 3)^5$.

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = u^5$, а внутренняя $g(x) = 2x + 3$.

Для нахождения производной используем правило производной сложной функции (цепное правило): $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = ((2x + 3)^5)' = 5 \cdot (2x + 3)^{5-1} \cdot (2x + 3)'$.

Находим производную внутренней функции: $(2x + 3)' = 2$.

Подставляем и получаем: $y' = 5 \cdot (2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4$.

Ответ: $10(2x + 3)^4$.

Дана функция $y = (\frac{1}{3}x - 6)^{18}$.

Применяем правило производной сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = ((\frac{1}{3}x - 6)^{18})' = 18 \cdot (\frac{1}{3}x - 6)^{18-1} \cdot (\frac{1}{3}x - 6)'$.

Находим производную внутренней функции: $(\frac{1}{3}x - 6)' = \frac{1}{3}$.

Подставляем и получаем: $y' = 18 \cdot (\frac{1}{3}x - 6)^{17} \cdot \frac{1}{3} = 6(\frac{1}{3}x - 6)^{17}$.

Ответ: $6(\frac{1}{3}x - 6)^{17}$.

Дана функция $y = \cos(2x)$.

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \cos u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Применяем правило производной сложной функции: $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.

$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)'$.

Находим производную внутренней функции: $(2x)' = 2$.

Подставляем и получаем: $y' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

Ответ: $-2\sin(2x)$.

Дана функция $y = \sin^2x$, что можно записать как $y = (\sin x)^2$.

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = u^2$, а внутренняя $g(x) = \sin x$.

Применяем правило производной сложной функции: $(u^2)' = 2u \cdot u'$.

$y' = ((\sin x)^2)' = 2\sin x \cdot (\sin x)'$.

Производная внутренней функции: $(\sin x)' = \cos x$.

Подставляем и получаем: $y' = 2\sin x \cos x$.

Используя формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, ответ можно упростить до $\sin(2x)$.

Ответ: $\sin(2x)$.

Дана функция $y = 3\cot\frac{x}{5}$.

Применяем правило производной сложной функции с константой: $(c \cdot \cot u)' = c \cdot (-\frac{1}{\sin^2 u}) \cdot u'$.

$y' = 3 \cdot (\cot\frac{x}{5})' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5})}) \cdot (\frac{x}{5})'$.

Находим производную внутренней функции: $(\frac{x}{5})' = \frac{1}{5}$.

Подставляем и получаем: $y' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5})}) \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{5\sin^2(\frac{x}{5})}$.

Ответ: $-\frac{3}{5\sin^2(\frac{x}{5})}$.

Дана функция $y = \sqrt{2x+1}$.

Представим функцию в виде $y = (2x+1)^{1/2}$.

Применяем правило производной сложной функции: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$y' = (\sqrt{2x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot (2x+1)'$.

Находим производную внутренней функции: $(2x+1)' = 2$.

Подставляем и получаем: $y' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

Дана функция $y = \sqrt[3]{1-x}$.

Представим функцию в виде $y = (1-x)^{1/3}$.

Применяем правило производной сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = ((1-x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(1-x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (1-x)' = \frac{1}{3}(1-x)^{-2/3} \cdot (1-x)'$.

Находим производную внутренней функции: $(1-x)' = -1$.

Подставляем и получаем: $y' = \frac{1}{3}(1-x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3(1-x)^{2/3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$.

Ответ: $-\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$.

Дана функция $y = \sqrt{x^2+1}$.

Применяем правило производной сложной функции: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$y' = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)'$.

Находим производную внутренней функции: $(x^2+1)' = 2x$.

Подставляем и получаем: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Ответ: $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Дана функция $y = \frac{1}{4x+5}$.

Представим функцию в виде $y = (4x+5)^{-1}$.

Применяем правило производной сложной функции: $(u^{-1})' = -1 \cdot u^{-2} \cdot u'$.

$y' = ((4x+5)^{-1})' = -1 \cdot (4x+5)^{-2} \cdot (4x+5)'$.

Находим производную внутренней функции: $(4x+5)' = 4$.

Подставляем и получаем: $y' = -(4x+5)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x+5)^2}$.

Ответ: $-\frac{4}{(4x+5)^2}$.

Дана функция $y = (\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-6}$.

Применяем правило производной сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = -6(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-6-1} \cdot (\frac{x^2}{2} + 4x - 1)' = -6(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-7} \cdot (\frac{x^2}{2} + 4x - 1)'$.

Находим производную внутренней функции: $(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)' = \frac{1}{2} \cdot 2x + 4 - 0 = x+4$.

Подставляем и получаем: $y' = -6(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-7} \cdot (x+4) = -\frac{6(x+4)}{(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^7}$.

Ответ: $-\frac{6(x+4)}{(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^7}$.

Дана функция $y = \sqrt{\sin x}$.

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя $g(x) = \sin x$.

Применяем правило производной сложной функции: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$y' = (\sqrt{\sin x})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot (\sin x)'$.

Находим производную внутренней функции: $(\sin x)' = \cos x$.

Подставляем и получаем: $y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.

Ответ: $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.

Дана функция $y = \sin \sqrt{x}$.

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \sin u$, а внутренняя $g(x) = \sqrt{x}$.

Применяем правило производной сложной функции: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$y' = (\sin \sqrt{x})' = \cos \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})'$.

Находим производную внутренней функции: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем и получаем: $y' = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.