Номер 38.19, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.19. На рисунке 38.14 изображён график функции f. Сравните:

1) $f'(-5)$ и $f'(1)$;
2) $f'(-1)$ и $f'(6)$;
3) $f'(-2)$ и $f'(4)$;
4) $f'(0)$ и $f'(5)$.

Рис. 38.14

Для сравнения значений производной функции в различных точках воспользуемся её геометрическим смыслом. Значение производной функции $f'(x_0)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

• Если функция возрастает в точке, то касательная направлена вверх (при движении слева направо), и её угловой коэффициент положителен, то есть $f'(x) > 0$.
• Если функция убывает в точке, то касательная направлена вниз, и её угловой коэффициент отрицателен, то есть $f'(x) < 0$.
• В точках экстремума (локальных максимумов и минимумов) касательная горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю, то есть $f'(x) = 0$.
• Чем круче идет вверх график, тем больше значение производной. Чем круче идет вниз график, тем значение производной меньше (более отрицательно).

1) f'(-5) и f'(1)

Найдём на графике точку с абсциссой $x = -5$. В этой точке функция $f(x)$ возрастает, следовательно, производная в этой точке положительна: $f'(-5) > 0$.
Найдём на графике точку с абсциссой $x = 1$. В этой точке функция $f(x)$ убывает, следовательно, производная в этой точке отрицательна: $f'(1) < 0$.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, то $f'(-5) > f'(1)$.

Ответ: $f'(-5) > f'(1)$.

2) f'(-1) и f'(6)

В точке $x = -1$ функция $f(x)$ убывает. Это означает, что её производная в данной точке отрицательна: $f'(-1) < 0$.
В точке $x = 6$ функция $f(x)$ возрастает. Это означает, что её производная в данной точке положительна: $f'(6) > 0$.
Сравнивая отрицательное и положительное числа, получаем $f'(-1) < f'(6)$.

Ответ: $f'(-1) < f'(6)$.

3) f'(-2) и f'(4)

Точка $x = -2$ является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(-2) = 0$.
Точка $x = 4$ является точкой локального минимума. Касательная к графику в этой точке также горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(4) = 0$.
Таким образом, значения производных в этих точках равны.

Ответ: $f'(-2) = f'(4)$.

4) f'(0) и f'(5)

В точке $x = 0$ (на оси ординат) функция $f(x)$ убывает. Производная в этой точке отрицательна: $f'(0) < 0$.
В точке $x = 5$ функция $f(x)$ возрастает. Производная в этой точке положительна: $f'(5) > 0$.
Отрицательное число всегда меньше положительного, поэтому $f'(0) < f'(5)$.

Ответ: $f'(0) < f'(5)$.