Номер 42.16, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.16. Верно ли утверждение:

1) значение функции в точке максимума может быть меньше значения функции в точке минимума;

2) функция в точке экстремума может быть недифференцируемой;

3) если производная в некоторой точке равна нулю, то эта точка является точкой экстремума функции?

1) значение функции в точке максимума может быть меньше значения функции в точке минимума

Да, это утверждение верно. Точка максимума и точка минимума (точки экстремума) — это локальные понятия. Точка максимума — это точка, в которой значение функции больше, чем во всех соседних точках из некоторой её окрестности. Аналогично, точка минимума — это точка, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках. При этом, на всей области определения функции может существовать несколько локальных максимумов и минимумов, и значение функции в одном из локальных максимумов вполне может оказаться меньше, чем значение в каком-либо из локальных минимумов.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{13}{3}x^3 + 36x$.

Найдем её производную:

$f'(x) = x^4 - 13x^2 + 36$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 13t + 36 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Тогда $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ и $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Мы получили четыре критические точки: $-3, -2, 2, 3$.

Найдем вторую производную, чтобы определить характер экстремумов:

$f''(x) = 4x^3 - 26x$.

• $f''(-3) = 4(-3)^3 - 26(-3) = -108 + 78 = -30 < 0$, значит $x=-3$ — точка максимума.
• $f''(3) = 4(3)^3 - 26(3) = 108 - 78 = 30 > 0$, значит $x=3$ — точка минимума.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

$f(-3) = \frac{1}{5}(-3)^5 - \frac{13}{3}(-3)^3 + 36(-3) = -\frac{243}{5} + \frac{13 \cdot 27}{3} - 108 = -48.6 + 117 - 108 = -39.6$.

$f(3) = \frac{1}{5}(3)^5 - \frac{13}{3}(3)^3 + 36(3) = \frac{243}{5} - \frac{13 \cdot 27}{3} + 108 = 48.6 - 117 + 108 = 39.6$.

Таким образом, мы нашли локальный максимум функции в точке $x=-3$, значение в котором равно $-39.6$, и локальный минимум в точке $x=3$, значение в котором равно $39.6$. Очевидно, что $-39.6 < 39.6$, то есть значение функции в точке максимума меньше значения функции в точке минимума.

Ответ: да, утверждение верно.

2) функция в точке экстремума может быть недифференцируемой

Да, это утверждение верно. Точки экстремума (максимума или минимума) могут существовать не только там, где производная равна нулю, но и в точках, где производная не существует (то есть функция недифференцируема). Такие точки также являются критическими точками функции.

Классическим примером является функция модуль $f(x) = |x|$.

Эта функция имеет точку минимума при $x=0$. Значение функции в этой точке $f(0)=0$. Для любой другой точки $x \neq 0$, значение $f(x) = |x| > 0$. Следовательно, $x=0$ является точкой глобального (и локального) минимума.

Однако производная этой функции в точке $x=0$ не существует. Для $x > 0$ производная $f'(x) = 1$. Для $x < 0$ производная $f'(x) = -1$. В точке $x=0$ левосторонняя и правосторонняя производные не равны:

$\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

$\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

Поскольку односторонние пределы не совпадают, производная в точке $x=0$ не существует.

Таким образом, функция $f(x)=|x|$ имеет экстремум (минимум) в точке, где она недифференцируема.

Ответ: да, утверждение верно.

3) если производная в некоторой точке равна нулю, то эта точка является точкой экстремума функции?

Нет, это утверждение неверно. Точка, в которой производная функции равна нулю, называется стационарной точкой. Это необходимое, но не достаточное условие для существования экстремума у дифференцируемой функции. Для того чтобы в стационарной точке был экстремум, производная должна менять свой знак при переходе через эту точку (с плюса на минус для максимума, с минуса на плюс для минимума).

Рассмотрим в качестве контрпримера функцию $f(x) = x^3$.

Её производная равна $f'(x) = 3x^2$.

В точке $x=0$ производная равна нулю: $f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$. Таким образом, $x=0$ — стационарная точка.

Однако, исследуем знак производной в окрестности этой точки:

• При $x < 0$, например $x=-1$, производная $f'(-1) = 3(-1)^2 = 3 > 0$.
• При $x > 0$, например $x=1$, производная $f'(1) = 3(1)^2 = 3 > 0$.

Производная не меняет свой знак при переходе через точку $x=0$. Она положительна как слева, так и справа от нуля. Это означает, что функция $f(x)=x^3$ возрастает на всей своей области определения, и точка $x=0$ не является ни максимумом, ни минимумом. Эта точка является точкой перегиба с горизонтальной касательной.

Ответ: нет, утверждение неверно.