Номер 42.19, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.19. Может ли иметь только одну точку экстремума: 1) чётная функция; 2) нечётная функция; 3) периодическая функция?

1) чётная функция

Да, чётная функция может иметь только одну точку экстремума.
По определению, функция $f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Предположим, что чётная функция имеет точку экстремума $x_0 \neq 0$. В силу симметрии графика относительно оси OY, функция также будет иметь точку экстремума того же типа (максимум или минимум) в точке $-x_0$. Таким образом, если у функции есть экстремум не в нуле, то у неё будет как минимум две точки экстремума ($x_0$ и $-x_0$).
Следовательно, для того чтобы у чётной функции была только одна точка экстремума, эта точка должна быть $x_0 = 0$.
Примером такой функции является парабола $f(x) = x^2$. Эта функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Её производная $f'(x) = 2x$ обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Эта точка является точкой минимума, и это единственная точка экстремума данной функции.
Ответ: да, может.

2) нечётная функция

Нет, нечётная функция не может иметь только одну точку экстремума.
По определению, функция $f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат.
Предположим, что нечётная функция имеет точку экстремума $x_0 \neq 0$. Пусть в этой точке достигается локальный максимум, то есть в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.
Рассмотрим точку $-x_0$. В силу нечётности функции, в окрестности точки $-x_0$ будет выполняться неравенство $f(y) \ge f(-x_0)$. Это следует из того, что для $y = -x$, где $x$ из окрестности $x_0$, имеем $f(y) = f(-x) = -f(x) \ge -f(x_0) = f(-x_0)$. Это означает, что в точке $-x_0$ будет локальный минимум. Таким образом, если у нечётной функции есть экстремум в точке $x_0 \neq 0$, то у неё обязательно есть и второй экстремум в точке $-x_0$.
Единственная возможность иметь одну точку экстремума — это если она находится в точке $x_0 = 0$. Однако нечётная функция (за исключением тривиального случая $f(x)=0$ в окрестности нуля) не может иметь экстремум в точке $x=0$. Если бы в точке $x=0$ был, например, локальный максимум, то в некоторой окрестности $(-\delta, \delta)$ выполнялось бы $f(x) \le f(0)$. Для нечётной функции $f(0)=0$, поэтому $f(x) \le 0$ для $x \in (-\delta, \delta)$. Но для $x \in (0, \delta)$ из этого интервала мы имеем $f(-x) = -f(x) \ge 0$. Так как $-x$ также принадлежит этому интервалу, то должно быть и $f(-x) \le 0$. Одновременное выполнение неравенств $f(-x) \ge 0$ и $f(-x) \le 0$ означает, что $f(-x)=0$. Это рассуждение верно для всех $x \in (0, \delta)$, что означает, что функция равна нулю в интервале $(-\delta, \delta)$. В этом случае любая точка интервала является точкой экстремума, и их бесконечно много, а не одна.
Следовательно, нечётная функция не может иметь ровно одну точку экстремума.
Ответ: нет, не может.

3) периодическая функция

Нет, периодическая функция не может иметь только одну точку экстремума.
По определению, функция $f(x)$ является периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Предположим, что периодическая (непостоянная) функция имеет точку экстремума $x_0$. Это означает, что в некоторой окрестности точки $x_0$ функция принимает наибольшее (для максимума) или наименьшее (для минимума) значение.
Из свойства периодичности следует, что если $x_0$ — точка экстремума, то и любая точка вида $x_n = x_0 + nT$, где $n$ — любое целое число ($n = \pm 1, \pm 2, \ldots$), также является точкой экстремума того же типа. Это происходит потому, что значения функции и её поведение в окрестности точки $x_n$ полностью повторяют значения и поведение в окрестности точки $x_0$.
Таким образом, если у периодической функции есть хотя бы одна точка экстремума, то их у неё бесконечно много. Если же функция является постоянной ($f(x) = C$), то она также периодическая, но у неё каждая точка является точкой экстремума, то есть их также бесконечно много.
Следовательно, периодическая функция не может иметь ровно одну точку экстремума.
Ответ: нет, не может.