Номер 20, страница 59, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 31. Первый закон термодинамики - номер 20, страница 59.

Условие.

20. В ванне находится $37 \text{ л}$ воды при температуре $20 \text{ °C}$. Чему станет равна температура воды в ванне, если добавить в неё $20 \text{ л}$ воды при температуре $60 \text{ °C}$?

Решение 2.

Дано:

Объем холодной воды, $V_1 = 37$ л

Температура холодной воды, $t_1 = 20$ °C

Объем горячей воды, $V_2 = 20$ л

Температура горячей воды, $t_2 = 60$ °C

$V_1 = 37 \text{ л} = 0.037 \text{ м}^3$

$V_2 = 20 \text{ л} = 0.020 \text{ м}^3$

Найти:

Конечная температура смеси, $\text{t}$

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен до тех пор, пока их температуры не станут одинаковыми. Предполагая, что система является изолированной (т.е. теплообмен с ванной и окружающей средой отсутствует), количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), будет равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{пол}$). Это выражается уравнением теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, отданное горячей водой при ее остывании от температуры $t_2$ до конечной температуры $\text{t}$, равно:

$Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Количество теплоты, полученное холодной водой при ее нагревании от температуры $t_1$ до конечной температуры $\text{t}$, равно:

$Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Здесь $m_1$ и $m_2$ — массы холодной и горячей воды, а $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды.

Приравнивая выражения для $Q_{отд}$ и $Q_{пол}$, получаем:

$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Массу воды можно выразить через ее объем $\text{V}$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Подставим это в уравнение:

$c \cdot \rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot \rho \cdot V_1 \cdot (t - t_1)$

Так как вещество в обоих случаях — вода, удельная теплоемкость $\text{c}$ и плотность $\rho$ одинаковы. Мы можем сократить эти величины с обеих сторон уравнения:

$V_2 \cdot (t_2 - t) = V_1 \cdot (t - t_1)$

Теперь решим это уравнение относительно конечной температуры $\text{t}$. Сначала раскроем скобки:

$V_2 t_2 - V_2 t = V_1 t - V_1 t_1$

Соберем слагаемые, содержащие $\text{t}$, с одной стороны, а остальные — с другой:

$V_1 t_1 + V_2 t_2 = V_1 t + V_2 t$

$V_1 t_1 + V_2 t_2 = t(V_1 + V_2)$

Отсюда выражаем $\text{t}$:

$t = \frac{V_1 t_1 + V_2 t_2}{V_1 + V_2}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$t = \frac{37 \text{ л} \cdot 20 \text{ °C} + 20 \text{ л} \cdot 60 \text{ °C}}{37 \text{ л} + 20 \text{ л}}$

$t = \frac{740 + 1200}{57} \text{ °C}$

$t = \frac{1940}{57} \text{ °C}$

$t \approx 34.04 \text{ °C}$

Ответ: температура воды в ванне станет равна примерно $34.04$ °C.