Номер 2, страница 319 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 8. Тепловые машины. Второй закон термодинамики. Параграф 57. Решение задач о тепловых машинах - номер 2, страница 319.

Условие.

2. Моль гелия совершает циклический процесс, состоящий из четырёх участков. На первом и втором участках газ охлаждают так, что его плотность на первом участке остаётся неизменной, а на втором участке увеличивается обратно пропорционально абсолютной температуре. Затем газ возвращают в исходное состояние, нагревая его сначала при неизменной плотности, а затем так, что его плотность изменяется обратно пропорционально температуре. Определите количество теплоты, полученное газом на последнем участке, если на втором участке его температура уменьшилась в $k$ раз, а в исходном состоянии температура была равна $T_1$.

Решение.

Дано:

Количество вещества гелия, $\nu = 1$ моль

Газ: гелий (He) - одноатомный идеальный газ

Циклический процесс 1-2-3-4-1

Участок 1-2: охлаждение, плотность постоянна ($\rho_{1-2} = \text{const}$)

Участок 2-3: охлаждение, плотность обратно пропорциональна температуре ($\rho \propto 1/T$)

Участок 3-4: нагрев, плотность постоянна ($\rho_{3-4} = \text{const}$)

Участок 4-1: нагрев, плотность обратно пропорциональна температуре ($\rho \propto 1/T$)

Начальная температура: $T_1$

Изменение температуры на втором участке: $T_3 = T_2 / k$

Найти:

$Q_{41}$ - количество теплоты, полученное газом на последнем участке.

Решение:

Проанализируем каждый участок цикла.

1. Участки с постоянной плотностью. Плотность газа $\rho = m/V$. Так как масса газа $m$ не меняется, условие $\rho = \text{const}$ эквивалентно условию постоянства объема $V = \text{const}$. Следовательно, процессы 1-2 и 3-4 являются изохорными.

2. Участки, где плотность обратно пропорциональна температуре. Условие $\rho \propto 1/T$ означает, что произведение $\rho T = \text{const}$. Свяжем это с уравнением состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона: $PV = \nu RT$. Плотность связана с параметрами состояния как $\rho = m/V = \nu M / V$, где $M$ - молярная масса. Выразим объем из этой формулы: $V = \nu M / \rho$. Подставим в уравнение состояния:

$P \frac{\nu M}{\rho} = \nu RT$

Отсюда $P = \frac{R}{M} \rho T$.

Поскольку универсальная газовая постоянная $R$ и молярная масса гелия $M$ являются константами, а на участках 2-3 и 4-1 произведение $\rho T$ постоянно, то и давление $P$ на этих участках остается постоянным. Следовательно, процессы 2-3 и 4-1 являются изобарными.

Таким образом, цикл состоит из двух изохор и двух изобар:

• 1-2: Изохорное охлаждение ($V_1 = V_2$)
• 2-3: Изобарное охлаждение ($P_2 = P_3$)
• 3-4: Изохорное нагревание ($V_3 = V_4$)
• 4-1: Изобарное нагревание ($P_4 = P_1$)

Требуется найти количество теплоты $Q_{41}$, полученное газом на последнем, четвертом участке (4-1). Это изобарный процесс нагревания. По первому закону термодинамики для изобарного процесса:

$Q = \nu C_P \Delta T$

где $C_P$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении, а $\Delta T$ - изменение температуры.

Для гелия (одноатомный газ) число степеней свободы $i=3$. Молярная теплоемкость при постоянном давлении равна:

$C_P = C_V + R = \frac{i}{2}R + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$

Тогда количество теплоты на участке 4-1:

$Q_{41} = \nu C_P (T_1 - T_4) = 1 \cdot \frac{5}{2}R (T_1 - T_4)$

Чтобы найти $Q_{41}$, необходимо выразить температуру $T_4$ через известные величины $T_1$ и $k$. Для этого рассмотрим процессы, связывающие состояния 1, 2, 3 и 4.

Для изобарного процесса 2-3 (закон Гей-Люссака): $\frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3}$.

Из условия, $T_3 = T_2/k$. Также, процесс 1-2 изохорный, поэтому $V_2 = V_1$. Подставляя, получаем:

$\frac{V_1}{T_2} = \frac{V_3}{T_2/k}$

Отсюда находим объем $V_3$: $V_3 = V_1 \frac{T_2/k}{T_2} = \frac{V_1}{k}$.

Теперь рассмотрим изобарный процесс 4-1, для которого также справедлив закон Гей-Люссака: $\frac{V_4}{T_4} = \frac{V_1}{T_1}$.

Процесс 3-4 является изохорным, поэтому $V_4 = V_3$. Мы уже нашли, что $V_3 = V_1/k$. Следовательно, $V_4 = V_1/k$. Подставим это в закон Гей-Люссака для процесса 4-1:

$\frac{V_1/k}{T_4} = \frac{V_1}{T_1}$

$\frac{1}{k T_4} = \frac{1}{T_1} \implies T_4 = \frac{T_1}{k}$

Теперь мы можем вычислить искомое количество теплоты $Q_{41}$:

$Q_{41} = \frac{5}{2}R (T_1 - T_4) = \frac{5}{2}R \left(T_1 - \frac{T_1}{k}\right)$

$Q_{41} = \frac{5}{2}R T_1 \left(1 - \frac{1}{k}\right) = \frac{5}{2}R T_1 \frac{k-1}{k}$

Ответ: $Q_{41} = \frac{5}{2}R T_1 \frac{k-1}{k}$.