Номер 3, страница 316 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 56. Принцип действия холодильных машин и тепловых насосов. Глава 8. Тепловые машины. Второй закон термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 3, страница 316.

Условие.

3. Тепловой насос, работающий по циклу Карно, обогревает дом, поддерживая температуру воздуха в нём равной $23^{\circ} \text{C}$. Температура воздуха на улице равна $-33^{\circ} \text{C}$. Определите мощность, потребляемую компрессором теплового насоса от сети, если за один час он передаёт воздуху в доме количество теплоты, равное $60 \text{ МДж}$.

Решение.

Дано:

Температура воздуха в доме (температура нагревателя): $T_1 = 23^{\circ}C = 23 + 273 = 296 \text{ К}$

Температура воздуха на улице (температура холодильника): $T_2 = -33^{\circ}C = -33 + 273 = 240 \text{ К}$

Количество теплоты, переданное дому: $Q_1 = 60 \text{ МДж} = 60 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Время: $t = 1 \text{ час} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Мощность, потребляемую компрессором $P$.

Решение:

Тепловой насос, работающий по циклу Карно, является идеальной тепловой машиной, работающей в обратном направлении. Эффективность его работы в режиме обогрева характеризуется отопительным коэффициентом $\epsilon$, который показывает, во сколько раз количество теплоты $Q_1$, переданное нагревателю (дому), превышает затраченную работу $A$ (работу компрессора).

$\epsilon = \frac{Q_1}{A}$

Для идеального цикла Карно отопительный коэффициент зависит только от абсолютных температур нагревателя $T_1$ и холодильника $T_2$:

$\epsilon = \frac{T_1}{T_1 - T_2}$

Приравняв оба выражения для отопительного коэффициента, мы можем найти работу, совершаемую компрессором:

$\frac{Q_1}{A} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}$

Отсюда работа $A$ равна:

$A = Q_1 \frac{T_1 - T_2}{T_1}$

Мощность $P$ — это работа, совершаемая в единицу времени. Работа $A$ совершается за время $t$, следовательно, мощность, потребляемая компрессором, равна:

$P = \frac{A}{t}$

Подставим выражение для работы $A$ в формулу мощности:

$P = \frac{Q_1}{t} \frac{T_1 - T_2}{T_1}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$P = \frac{60 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{3600 \text{ с}} \cdot \frac{296 \text{ К} - 240 \text{ К}}{296 \text{ К}} = \frac{600 \cdot 10^4}{36} \text{ Вт} \cdot \frac{56}{296}$

$P \approx 16666.67 \text{ Вт} \cdot 0.189189 \approx 3153.15 \text{ Вт}$

Округляя, получаем $P \approx 3150 \text{ Вт}$ или $3.15 \text{ кВт}$.

Ответ: мощность, потребляемая компрессором теплового насоса, составляет примерно $3.15 \text{ кВт}$.