Номер 1, страница 318 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 57. Решение задач о тепловых машинах. Глава 8. Тепловые машины. Второй закон термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 1, страница 318.

Условие.

1. КПД теплового двигателя, цикл которого состоит из изотермы 1–2, изохоры 2–3 и адиабаты 3–1, равен $\eta$ (рис. 234). Рабочее вещество машины — $\nu$ молей идеального одноатомного газа. КПД другого двигателя, работающего по циклу Карно, с температурами нагревателя и холодильника, равными соответственно максимальной и минимальной температурам рабочего вещества первого двигателя, равен $\eta_K$. Определите работу газа за цикл в первом двигателе, если в состоянии 1 внутренняя энергия газа равна $U_1$.

Рис. 234

Решение.

Дано:

Цикл теплового двигателя: 1-2 (изотерма), 2-3 (изохора), 3-1 (адиабата).

Рабочее вещество: $\nu$ моль идеального одноатомного газа.

КПД первого двигателя: $\eta$.

Внутренняя энергия в состоянии 1: $U_1$.

КПД двигателя Карно, работающего между максимальной и минимальной температурами первого цикла: $\eta_К$.

Найти:

Работу газа за цикл в первом двигателе $A$.

Решение:

Работа, совершаемая тепловым двигателем за цикл, определяется через его КПД и количество теплоты $Q_H$, полученное от нагревателя: $A = \eta Q_H$.

Определим, на каких участках цикла газ получает и отдает тепло.

1. Участок 1-2 – изотермическое расширение ($T=const$). Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому $\Delta U_{12} = 0$. Согласно первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A'$, теплота, полученная газом, равна работе, совершенной газом: $Q_{12} = A'_{12}$. Так как объем увеличивается ($V_2 > V_1$), работа газа положительна $A'_{12} > 0$, следовательно, газ получает тепло $Q_{12} > 0$. Это и есть теплота, полученная от нагревателя: $Q_H = Q_{12}$.

2. Участок 2-3 – изохорное охлаждение ($V=const$). Работа газа на этом участке равна нулю: $A'_{23} = 0$. Теплота $Q_{23} = \Delta U_{23}$. Так как давление падает, температура также падает ($T_3 < T_2$), поэтому внутренняя энергия уменьшается, $\Delta U_{23} < 0$. Следовательно, газ отдает тепло: $Q_{23} < 0$. Это теплота, отданная холодильнику: $|Q_C| = |Q_{23}|$.

3. Участок 3-1 – адиабатное сжатие ($Q=0$). Газ не обменивается теплотой с окружающей средой.

Максимальная температура в цикле достигается на изотерме 1-2, то есть $T_{max} = T_1 = T_2$. Минимальная температура достигается в точке 3, так как процесс 2-3 — охлаждение, а 3-1 — адиабатное сжатие, при котором температура растет. Таким образом, $T_{min} = T_3$.

КПД двигателя Карно, работающего между этими температурами, равен: $\eta_К = 1 - \frac{T_{min}}{T_{max}} = 1 - \frac{T_3}{T_1}$. Отсюда можно выразить отношение температур: $\frac{T_3}{T_1} = 1 - \eta_К$.

Теплота, отданная холодильнику, для изохорного процесса равна $|Q_C| = -Q_{23} = -\Delta U_{23} = -(U_3 - U_2) = U_2 - U_3$.

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия $U = \frac{3}{2}\nu RT$. Поскольку $T_1=T_2$, то $U_1=U_2$. Тогда $|Q_C| = U_1 - U_3$.

Внутренняя энергия прямо пропорциональна температуре ($U \propto T$), поэтому $\frac{U_3}{U_1} = \frac{T_3}{T_1} = 1 - \eta_К$.

Отсюда $U_3 = U_1(1 - \eta_К)$.

Подставим это в выражение для отданной теплоты: $|Q_C| = U_1 - U_1(1 - \eta_К) = U_1 - U_1 + U_1\eta_К = U_1\eta_К$.

КПД первого двигателя можно записать как $\eta = \frac{A}{Q_H} = \frac{Q_H - |Q_C|}{Q_H} = 1 - \frac{|Q_C|}{Q_H}$.

Из этой формулы выразим работу $A$ через $|Q_C|$ и $\eta$.

Из $\eta = 1 - \frac{|Q_C|}{Q_H}$ следует, что $\frac{|Q_C|}{Q_H} = 1 - \eta$, откуда $Q_H = \frac{|Q_C|}{1 - \eta}$.

Тогда работа $A = \eta Q_H = \eta \frac{|Q_C|}{1 - \eta}$.

Подставив найденное выражение для $|Q_C|$, получаем окончательную формулу для работы:

$A = \frac{\eta}{1 - \eta} U_1 \eta_К$.

Ответ: $A = \frac{\eta \eta_К U_1}{1 - \eta}$.