Номер 3, страница 319 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 8. Тепловые машины. Второй закон термодинамики. Параграф 57. Решение задач о тепловых машинах - номер 3, страница 319.

Условие.

3. Объем $V$ и абсолютную температуру $T$ некоторого количества идеального одноатомного газа изменяют циклически в соответствии с $V$-$T$-диаграммой, показанной на рис. 235. Определите КПД этого цикла, если отношение тангенсов углов наклона прямых $3-4$ и $1-2$ к оси температур равно $n$, а отношение температур газа в состояниях $2$ и $4$ равно $3n$.

Рис. 235

Решение.

Дано:

Идеальный одноатомный газ, $i=3$

Циклический процесс 1-2-3-4-1, показанный на V-T диаграмме.

Отношение тангенсов углов наклона прямых 3-4 и 1-2: $\frac{k_{34}}{k_{12}}=n$

Отношение температур: $\frac{T_2}{T_4}=3n$

Найти:

КПД цикла $\eta$.

Решение:

Проанализируем циклический процесс, изображенный на V-T диаграмме.

1. Идентификация процессов. На диаграмме пунктирными линиями показано, что прямые, на которых лежат отрезки 1-2 и 3-4, проходят через начало координат. В V-T координатах прямая, проходящая через начало координат ($V \propto T$), соответствует изобарному процессу ($p = \text{const}$), так как из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT$ следует $V = (\frac{\nu R}{p})T$.

Процессы 4-1 и 2-3 являются вертикальными линиями на V-T диаграмме, что означает постоянство объема ($V = \text{const}$). Следовательно, это изохорные процессы.

Таким образом, цикл состоит из следующих процессов:

• 4-1: изохорное нагревание ($V_4=V_1$).
• 1-2: изобарное расширение ($p_1=p_2$).
• 2-3: изохорное охлаждение ($V_2=V_3$).
• 3-4: изобарное сжатие ($p_3=p_4$).

2. Анализ условий задачи. Тангенс угла наклона прямой для изобарного процесса на V-T диаграмме равен $k = \frac{V}{T} = \frac{\nu R}{p}$.

Отношение тангенсов углов наклона для процессов 3-4 и 1-2:$\frac{k_{34}}{k_{12}} = \frac{\nu R/p_{34}}{\nu R/p_{12}} = \frac{p_{12}}{p_{34}} = n$.

3. Связь между параметрами состояний.

Для изохорного процесса 4-1 (V=const) из закона Шарля: $\frac{p_4}{T_4} = \frac{p_1}{T_1}$. Учитывая, что $p_1=p_{12}$ и $p_4=p_{34}$, получаем:$\frac{T_1}{T_4} = \frac{p_1}{p_4} = \frac{p_{12}}{p_{34}} = n \Rightarrow T_1 = nT_4$.

Для изохорного процесса 2-3 (V=const): $\frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3}$. Учитывая, что $p_2=p_{12}$ и $p_3=p_{34}$, получаем:$\frac{T_3}{T_2} = \frac{p_3}{p_2} = \frac{p_{34}}{p_{12}} = \frac{1}{n} \Rightarrow T_3 = \frac{T_2}{n}$.

4. Расчет КПД. КПД теплового двигателя определяется формулой:$\eta = \frac{A}{Q_{пол}} = 1 - \frac{|Q_{отд}|}{Q_{пол}}$,где $Q_{пол}$ - количество теплоты, полученное газом, а $Q_{отд}$ - количество теплоты, отданное газом.

Газ получает теплоту в процессах, где его температура растет: 4-1 (изохорное нагревание) и 1-2 (изобарное расширение).$Q_{пол} = Q_{41} + Q_{12} = C_V(T_1 - T_4) + C_p(T_2 - T_1)$.

Газ отдает теплоту в процессах, где его температура падает: 2-3 (изохорное охлаждение) и 3-4 (изобарное сжатие).$|Q_{отд}| = |Q_{23}| + |Q_{34}| = C_V(T_2 - T_3) + C_p(T_3 - T_4)$.

Для одноатомного идеального газа ($i=3$) молярные теплоемкости равны: $C_V = \frac{3}{2}\nu R$ и $C_p = \frac{5}{2}\nu R$.

Подставим выражения для теплоемкостей:$\eta = 1 - \frac{\frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_3) + \frac{5}{2}\nu R(T_3 - T_4)}{\frac{3}{2}\nu R(T_1 - T_4) + \frac{5}{2}\nu R(T_2 - T_1)} = 1 - \frac{3(T_2 - T_3) + 5(T_3 - T_4)}{3(T_1 - T_4) + 5(T_2 - T_1)}$.

Теперь подставим найденные соотношения для температур ($T_1=nT_4$, $T_3=T_2/n$) и данное в условии ($T_2=3nT_4$):

Числитель дроби:$3(T_2 - \frac{T_2}{n}) + 5(\frac{T_2}{n} - T_4) = 3T_2 - \frac{3T_2}{n} + \frac{5T_2}{n} - 5T_4 = 3T_2 + \frac{2T_2}{n} - 5T_4$.Подставляем $T_2=3nT_4$:$3(3nT_4) + \frac{2(3nT_4)}{n} - 5T_4 = 9nT_4 + 6T_4 - 5T_4 = T_4(9n + 1)$.

Знаменатель дроби:$3(nT_4 - T_4) + 5(T_2 - nT_4) = 3T_4(n-1) + 5(T_2 - nT_4)$.Подставляем $T_2=3nT_4$:$3T_4(n-1) + 5(3nT_4 - nT_4) = 3nT_4 - 3T_4 + 5(2nT_4) = 3nT_4 - 3T_4 + 10nT_4 = 13nT_4 - 3T_4 = T_4(13n - 3)$.

Теперь находим КПД:$\eta = 1 - \frac{T_4(9n + 1)}{T_4(13n - 3)} = 1 - \frac{9n + 1}{13n - 3} = \frac{(13n - 3) - (9n + 1)}{13n - 3} = \frac{13n - 3 - 9n - 1}{13n - 3} = \frac{4n - 4}{13n - 3}$.

Ответ: $\eta = \frac{4(n-1)}{13n-3}$.