Номер 3, страница 311 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 55. Принцип действия тепловых машин. Глава 8. Тепловые машины. Второй закон термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 3, страница 311.

Условие.

*3. Запишите первый закон термодинамики для каждого из процессов, совершаемых рабочим веществом теплового двигателя из упражнения 2.

Считая, что известны $p_0, V_0, S, h$ и $M$, определите:

а) количества теплоты, полученные рабочим веществом на каждом из участков: $Q_{12}, Q_{23}, Q_{34}, Q_{41};$

а) количества теплоты, полученные рабочим веществом на каждом из участков: $Q_{12}, Q_{23}, Q_{34}, Q_{41};$

б) количества теплоты $Q_{\text{Н}}$ и $Q_{\text{х}}$.

Проверьте формулу $A = Q_{\text{Н}} - Q_{\text{х}} < Q_{\text{Н}}$ и рассчитайте КПД.

Решение.

Дано:

$p_0, V_0, S, h, M$

Найти:

а) $Q_{12}, Q_{23}, Q_{34}, Q_{41}$

б) $Q_н, Q_х, \eta$; проверить формулу $A = Q_н - Q_х < Q_н$

Решение:

Поскольку условие задачи отсылает к упражнению 2, которое не представлено, будем считать, что рабочий цикл теплового двигателя представляет собой прямоугольный цикл на p-V диаграмме, совершаемый по часовой стрелке. Рабочим веществом является идеальный газ с числом степеней свободы $i$.

Пусть параметры состояний цикла будут следующими:

• Состояние 1: давление $p_1 = p_0$, объем $V_1 = V_0$.
• Состояние 2: давление $p_2 = p_0 + \frac{Mg}{S}$, объем $V_2 = V_0$. Здесь $g$ – ускорение свободного падения.
• Состояние 3: давление $p_3 = p_0 + \frac{Mg}{S}$, объем $V_3 = V_0 + Sh$.
• Состояние 4: давление $p_4 = p_0$, объем $V_4 = V_0 + Sh$.

Первый закон термодинамики в общем виде: $Q = \Delta U + A'$, где $Q$ – количество теплоты, переданное газу, $\Delta U$ – изменение его внутренней энергии, $A'$ – работа, совершённая газом.

Для идеального газа $\Delta U = \frac{i}{2}\nu R \Delta T = \frac{i}{2}\Delta(pV)$.

а) количества теплоты, полученные рабочим веществом на каждом из участков: $Q_{12}, Q_{23}, Q_{34}, Q_{41}$

Участок 1-2 (изохорное нагревание):

Процесс изохорный, $V_1 = V_2 = V_0$, следовательно, работа газа $A'_{12} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{12} = \frac{i}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{i}{2}V_0(p_2 - p_1) = \frac{i}{2}V_0(p_0 + \frac{Mg}{S} - p_0) = \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S}$.

Согласно первому закону термодинамики: $Q_{12} = \Delta U_{12} + A'_{12} = \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S}$. Так как $Q_{12} > 0$, газ получает тепло.

Участок 2-3 (изобарное расширение):

Процесс изобарный, $p_2 = p_3 = p_0 + \frac{Mg}{S}$.

Работа, совершаемая газом: $A'_{23} = p_2(V_3 - V_2) = (p_0 + \frac{Mg}{S})(V_0 + Sh - V_0) = (p_0 + \frac{Mg}{S})Sh$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{23} = \frac{i}{2}p_2(V_3 - V_2) = \frac{i}{2}(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh$.

Согласно первому закону термодинамики: $Q_{23} = \Delta U_{23} + A'_{23} = \frac{i}{2}(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh + (p_0 + \frac{Mg}{S})Sh = (\frac{i}{2}+1)(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh$. Так как $Q_{23} > 0$, газ получает тепло.

Участок 3-4 (изохорное охлаждение):

Процесс изохорный, $V_3 = V_4 = V_0 + Sh$, следовательно, работа газа $A'_{34} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{34} = \frac{i}{2}V_3(p_4 - p_3) = \frac{i}{2}(V_0+Sh)(p_0 - (p_0 + \frac{Mg}{S})) = -\frac{i}{2}(V_0+Sh)\frac{Mg}{S}$.

Согласно первому закону термодинамики: $Q_{34} = \Delta U_{34} + A'_{34} = -\frac{i}{2}(V_0+Sh)\frac{Mg}{S}$. Так как $Q_{34} < 0$, газ отдает тепло.

Участок 4-1 (изобарное сжатие):

Процесс изобарный, $p_4 = p_1 = p_0$.

Работа, совершаемая газом: $A'_{41} = p_1(V_1 - V_4) = p_0(V_0 - (V_0 + Sh)) = -p_0Sh$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{41} = \frac{i}{2}p_1(V_1 - V_4) = -\frac{i}{2}p_0Sh$.

Согласно первому закону термодинамики: $Q_{41} = \Delta U_{41} + A'_{41} = -\frac{i}{2}p_0Sh - p_0Sh = -(\frac{i}{2}+1)p_0Sh$. Так как $Q_{41} < 0$, газ отдает тепло.

Ответ: $Q_{12} = \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S}$; $Q_{23} = (\frac{i}{2}+1)(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh$; $Q_{34} = -\frac{i}{2}(V_0+Sh)\frac{Mg}{S}$; $Q_{41} = -(\frac{i}{2}+1)p_0Sh$.

б) количества теплоты $Q_н$ и $Q_х$. Проверьте формулу $A = Q_н - Q_х < Q_н$ и рассчитайте КПД.

Количество теплоты, полученное от нагревателя ($Q_н$), равно сумме положительных количеств теплоты:

$Q_н = Q_{12} + Q_{23} = \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh$.

Количество теплоты, отданное холодильнику ($Q_х$), равно сумме модулей отрицательных количеств теплоты:

$Q_х = |Q_{34}| + |Q_{41}| = \frac{i}{2}(V_0+Sh)\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)p_0Sh$.

Проверим формулу $A = Q_н - Q_х$.

Работа за цикл $A$ равна площади прямоугольника на p-V диаграмме:

$A = \Delta p \cdot \Delta V = (p_2 - p_1)(V_3 - V_2) = (p_0 + \frac{Mg}{S} - p_0)(V_0 + Sh - V_0) = \frac{Mg}{S} \cdot Sh = Mgh$.

Теперь найдем разность $Q_н - Q_х$:

$Q_н - Q_х = \left[ \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh \right] - \left[ \frac{i}{2}(V_0+Sh)\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)p_0Sh \right]$

$Q_н - Q_х = \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)p_0Sh + (\frac{i}{2}+1)\frac{MgSh}{S} - \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S} - \frac{i}{2}Sh\frac{Mg}{S} - (\frac{i}{2}+1)p_0Sh$

$Q_н - Q_х = (\frac{i}{2}+1)\frac{MgSh}{S} - \frac{i}{2}\frac{MgSh}{S} = ( \frac{i}{2}+1 - \frac{i}{2} ) \frac{MgSh}{S} = \frac{MgSh}{S} = Mgh$.

Таким образом, $A = Q_н - Q_х = Mgh$, что и требовалось проверить.

Так как $Q_н$ является суммой нескольких положительных слагаемых, одно из которых равно $(\frac{i}{2}+1)\frac{MgSh}{S} = (\frac{i}{2}+1)Mgh$, а работа $A=Mgh$, и $(\frac{i}{2}+1) > 1$, то очевидно, что $Q_н > A$. Следовательно, соотношение $A < Q_н$ также выполняется.

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя равен:

$\eta = \frac{A}{Q_н} = \frac{Mgh}{\frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh}$.

Ответ: $Q_н = \frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh$; $Q_х = \frac{i}{2}(V_0+Sh)\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)p_0Sh$; Проверка $A = Q_н - Q_х$ показала, что обе величины равны $Mgh$. Формула верна. КПД: $\eta = \frac{Mgh}{\frac{i}{2}V_0\frac{Mg}{S} + (\frac{i}{2}+1)(p_0 + \frac{Mg}{S})Sh}$.