Номер 3, страница 425 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Параграф 75. Диэлектрики в постоянном электрическом поле. Упражнения - номер 3, страница 425.

Условие.

*3. Определите заряды, индуцированные на внутренней и внешней поверхностях диэлектрического сферического слоя, из задачи в конце этого параграфа. (Подсказка: воспользуйтесь теоремой Гаусса для трёх сфер, радиусы которых удовлетворяют неравенствам: $R_1 < r < R_2$, $R_2 < r < R_3$ и $r > R_3$.)

Решение.

Дано:

Поскольку условие задачи ссылается на предыдущий контекст, который не предоставлен, будем исходить из наиболее стандартной постановки такой задачи, соответствующей подсказке. Рассматривается система, состоящая из центрального свободного точечного заряда $q$ и окружающего его концентрического диэлектрического сферического слоя.

Свободный заряд в центре системы: $q$

Внутренний радиус диэлектрического слоя: $R_2$

Внешний радиус диэлектрического слоя: $R_3$

Диэлектрическая проницаемость материала слоя: $\epsilon$

Найти:

Индуцированный заряд на внутренней поверхности слоя: $q'_{вн}$

Индуцированный заряд на внешней поверхности слоя: $q'_{внеш}$

Решение:

Индуцированные (или связанные) заряды на поверхностях диэлектрика возникают вследствие поляризации его молекул под действием электрического поля, создаваемого свободным зарядом $q$. Чтобы найти эти заряды, необходимо определить вектор поляризации $\vec{P}$ внутри диэлектрического слоя.

Для нахождения вектора поляризации воспользуемся теоремой Гаусса для вектора электрического смещения $\vec{D}$. Поток вектора $\vec{D}$ через любую замкнутую поверхность равен суммарному свободному заряду, заключенному внутри этой поверхности: $\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q_{своб}$.

Рассмотрим сферическую поверхность Гаусса радиусом $r$, расположенную внутри диэлектрического слоя ($R_2 < r < R_3$). Единственный свободный заряд, охватываемый этой поверхностью, — это центральный заряд $q$. В силу сферической симметрии задачи, вектор $\vec{D}$ направлен радиально от центра ($\vec{D} = D(r)\hat{r}$), и его модуль постоянен на выбранной поверхности. Тогда теорема Гаусса записывается в виде:

$D(r) \cdot 4\pi r^2 = q$

Из этого уравнения находим модуль вектора электрического смещения внутри диэлектрика:

$D(r) = \frac{q}{4\pi r^2}$

Вектор поляризации $\vec{P}$ связан с вектором смещения $\vec{D}$ и вектором напряженности электрического поля $\vec{E}$ соотношением $\vec{P} = \vec{D} - \epsilon_0 \vec{E}$. В линейном изотропном диэлектрике также справедливо $\vec{D} = \epsilon_0 \epsilon \vec{E}$, где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, а $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость вещества. Выражая $\vec{E}$ через $\vec{D}$ ($\vec{E} = \frac{\vec{D}}{\epsilon_0 \epsilon}$), подставим его в формулу для $\vec{P}$:

$\vec{P} = \vec{D} - \epsilon_0 \left(\frac{\vec{D}}{\epsilon_0 \epsilon}\right) = \vec{D} \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right) = \frac{\epsilon-1}{\epsilon} \vec{D}$

Подставляя выражение для $D(r)$, получаем вектор поляризации в диэлектрике:

$\vec{P}(r) = \frac{\epsilon-1}{\epsilon} \frac{q}{4\pi r^2} \hat{r}$

Поверхностная плотность индуцированных зарядов $\sigma'$ на границе диэлектрика определяется по формуле $\sigma' = \vec{P} \cdot \hat{n}$, где $\hat{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из диэлектрика наружу.

Заряд, индуцированный на внутренней поверхности

На внутренней поверхности ($r=R_2$) вектор нормали $\hat{n}$ направлен против радиус-вектора, то есть к центру сферы: $\hat{n} = -\hat{r}$.

Поверхностная плотность индуцированного заряда на этой поверхности равна:

$\sigma'_{вн} = \vec{P}(R_2) \cdot (-\hat{r}) = \left(\frac{\epsilon-1}{\epsilon} \frac{q}{4\pi R_2^2} \hat{r}\right) \cdot (-\hat{r}) = - \frac{\epsilon-1}{\epsilon} \frac{q}{4\pi R_2^2}$

Полный индуцированный заряд $q'_{вн}$ находим, умножив плотность на площадь внутренней поверхности $S_{вн} = 4\pi R_2^2$:

$q'_{вн} = \sigma'_{вн} \cdot S_{вн} = \left(- \frac{\epsilon-1}{\epsilon} \frac{q}{4\pi R_2^2}\right) \cdot (4\pi R_2^2) = -q \frac{\epsilon-1}{\epsilon}$

Ответ: Заряд, индуцированный на внутренней поверхности, равен $q'_{вн} = -q \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right)$.

Заряд, индуцированный на внешней поверхности

На внешней поверхности ($r=R_3$) вектор нормали $\hat{n}$ совпадает с направлением радиус-вектора: $\hat{n} = \hat{r}$.

Поверхностная плотность индуцированного заряда на этой поверхности равна:

$\sigma'_{внеш} = \vec{P}(R_3) \cdot (\hat{r}) = \left(\frac{\epsilon-1}{\epsilon} \frac{q}{4\pi R_3^2} \hat{r}\right) \cdot (\hat{r}) = \frac{\epsilon-1}{\epsilon} \frac{q}{4\pi R_3^2}$

Полный индуцированный заряд $q'_{внеш}$ находим, умножив плотность на площадь внешней поверхности $S_{внеш} = 4\pi R_3^2$:

$q'_{внеш} = \sigma'_{внеш} \cdot S_{внеш} = \left(\frac{\epsilon-1}{\epsilon} \frac{q}{4\pi R_3^2}\right) \cdot (4\pi R_3^2) = q \frac{\epsilon-1}{\epsilon}$

Ответ: Заряд, индуцированный на внешней поверхности, равен $q'_{внеш} = q \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right)$.