Номер 3, страница 275 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 10. Агрегатные состояния вещества. Фазовые переходы. Параграф 49. Смачивание. Капиллярные явления. Задания и упражнения - номер 3, страница 275.

Условие.

3. Жидкость в капиллярной трубке радиусом 0,5 мм поднимается на высоту, равную 10 мм. Оцените плотность данной жидкости, если её коэффициент поверхностного натяжения равен 20 мН/м.

Решение.

Дано:

Радиус капиллярной трубки, $r = 0,5 \text{ мм}$

Высота подъема жидкости, $h = 10 \text{ мм}$

Коэффициент поверхностного натяжения, $\sigma = 20 \text{ мН/м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$r = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$h = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-2} \text{ м}$

$\sigma = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$

Найти:

Плотность жидкости, $\rho$

Решение:

Высота подъема жидкости в капилляре определяется равновесием силы поверхностного натяжения, действующей вверх, и силы тяжести столба жидкости, действующей вниз. Будем считать, что жидкость полностью смачивает стенки капилляра, то есть краевой угол равен нулю ($\theta = 0$).

Сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$ действует вдоль границы соприкосновения жидкости со стенкой трубки. Длина этой границы (периметр смачивания) равна длине окружности $L = 2\pi r$.

Таким образом, вертикальная составляющая силы поверхностного натяжения, удерживающая столб жидкости, равна:

$F_{\sigma} = \sigma L = 2\pi r \sigma$

Сила тяжести $F_g$, действующая на столб жидкости высотой $\text{h}$, равна:

$F_g = mg$

где $\text{m}$ - масса столба жидкости. Массу можно выразить через плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho V$

Объем столба жидкости в капилляре (принимая его форму за цилиндр) равен:

$V = \pi r^2 h$

Подставив выражения для массы и объема в формулу для силы тяжести, получим:

$F_g = \rho g \pi r^2 h$

В состоянии равновесия сила поверхностного натяжения уравновешивает силу тяжести:

$F_{\sigma} = F_g$

$2\pi r \sigma = \rho g \pi r^2 h$

Выразим из этого уравнения плотность $\rho$:

$\rho = \frac{2\pi r \sigma}{g \pi r^2 h} = \frac{2\sigma}{grh}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\rho = \frac{2 \cdot 20 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{40 \cdot 10^{-3}}{50 \cdot 10^{-6}} \text{ кг/м}^3$

$\rho = \frac{40}{50} \cdot 10^{-3 - (-6)} = 0,8 \cdot 10^3 = 800 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность данной жидкости составляет $800 \text{ кг/м}^3$.