Номер 45.2, страница 240 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

45.2. Три отрицательных заряда, по модулю равные $9 \cdot 10^{-8}$ Кл, расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы система зарядов находилась в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?

Дано:

Три одинаковых отрицательных заряда $q_1 = q_2 = q_3 = q_{верш}$
Модуль зарядов $|q_{верш}| = 9 \cdot 10^{-8}$ Кл
Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника.

Найти:

$q_0$ - заряд, который нужно поместить в центр треугольника для равновесия системы.
Определить, будет ли равновесие устойчивым.

Решение:

Какой заряд нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы система зарядов находилась в равновесии?

Для того чтобы вся система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех электростатических сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю. В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть условие равновесия для одного из зарядов в вершине треугольника. Пусть это будет заряд $q_1$.

На заряд $q_1$ действуют силы отталкивания со стороны двух других зарядов в вершинах, $q_2$ и $q_3$, так как все они одноименные (отрицательные). Обозначим сторону треугольника через $\text{a}$. Модули этих сил $\vec{F}_{21}$ и $\vec{F}_{31}$ согласно закону Кулона равны:

$F_{21} = F_{31} = F_{верш} = k \frac{|q_{верш}|^2}{a^2}$, где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Угол между векторами сил $\vec{F}_{21}$ и $\vec{F}_{31}$ равен $60^\circ$. Их равнодействующая $\vec{F}_{отт}$ направлена по биссектрисе угла, то есть вдоль медианы, от центра треугольника. Ее модуль можно найти по правилу параллелограмма (теореме косинусов для векторов):

$F_{отт} = \sqrt{F_{верш}^2 + F_{верш}^2 + 2F_{верш}F_{верш}\cos{60^\circ}} = \sqrt{2F_{верш}^2 + 2F_{верш}^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F_{верш}^2} = F_{верш}\sqrt{3}$.

Таким образом, суммарная сила отталкивания, действующая на заряд $q_1$ со стороны двух других зарядов в вершинах, равна $F_{отт} = k \frac{|q_{верш}|^2}{a^2}\sqrt{3}$.

Чтобы заряд $q_1$ был в равновесии, эту силу отталкивания должна скомпенсировать сила со стороны центрального заряда $q_0$. Обозначим эту силу $\vec{F}_{01}$. Она должна быть равна по модулю и противоположна по направлению силе $\vec{F}_{отт}$. То есть $\vec{F}_{01}$ должна быть силой притяжения, направленной к центру треугольника. Поскольку заряд $q_1$ отрицательный, центральный заряд $q_0$ должен быть положительным.

Расстояние $\text{r}$ от центра равностороннего треугольника до его вершины связано со стороной $\text{a}$ соотношением $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Модуль силы притяжения $F_{01}$ между зарядами $q_0$ и $q_1$ равен:

$F_{01} = k \frac{|q_0||q_1|}{r^2} = k \frac{q_0|q_{верш}|}{(a/\sqrt{3})^2} = 3k \frac{q_0|q_{верш}|}{a^2}$.

Приравняем модули сил $F_{01}$ и $F_{отт}$:

$3k \frac{q_0|q_{верш}|}{a^2} = k \frac{|q_{верш}|^2}{a^2}\sqrt{3}$

Сократив общие множители, получим:

$3q_0 = |q_{верш}|\sqrt{3}$

$q_0 = \frac{|q_{верш}|\sqrt{3}}{3} = \frac{|q_{верш}|}{\sqrt{3}}$

Подставим числовое значение $|q_{верш}| = 9 \cdot 10^{-8}$ Кл:

$q_0 = \frac{9 \cdot 10^{-8}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} \cdot 10^{-8} = 3\sqrt{3} \cdot 10^{-8}$ Кл.

Приближенное значение: $q_0 \approx 3 \cdot 1.732 \cdot 10^{-8} \approx 5.2 \cdot 10^{-8}$ Кл.

При таком значении заряда $q_0$ каждый из зарядов в вершинах будет находиться в равновесии. Центральный заряд $q_0$ также будет находиться в равновесии из-за симметричного расположения трех одинаковых притягивающих его зарядов в вершинах (векторная сумма трех равных по модулю сил, направленных под углами $120^\circ$ друг к другу, равна нулю).

Ответ: Чтобы система зарядов находилась в равновесии, в центр треугольника нужно поместить положительный заряд величиной $q_0 = 3\sqrt{3} \cdot 10^{-8}$ Кл (приблизительно $5.2 \cdot 10^{-8}$ Кл).

Будет ли равновесие устойчивым?

Равновесие системы называется устойчивым, если при малом отклонении от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему в исходное состояние. Если же при малом смещении возникают силы, уводящие систему еще дальше от положения равновесия, то оно является неустойчивым.

В электростатике справедлива теорема Ирншоу, которая гласит, что никакая система точечных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия под действием только кулоновских сил. Всегда найдется направление, смещение вдоль которого приведет к нарушению равновесия.

В данном случае можно провести качественный анализ. Если сместить центральный положительный заряд $q_0$ из центра в плоскости треугольника, например, немного приблизив его к одному из отрицательных зарядов в вершине, то сила притяжения к этому заряду возрастет, а к двум другим ослабнет. В результате равнодействующая сила будет направлена в сторону смещения, то есть будет еще больше удалять заряд $q_0$ от центра. Это признак неустойчивого равновесия.

Таким образом, хотя система и может находиться в равновесии, это равновесие не является устойчивым.

Ответ: Нет, равновесие будет неустойчивым.