Номер 45.3, страница 240 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

45.3. В трёх вершинах квадрата со стороной 10 см находятся одинаковые точечные положительные заряды, равные $3 \cdot 10^{-8}$ Кл. С какой силой будут действовать эти заряды на положительный точечный электрический заряд $2 \cdot 10^{-8}$ Кл, расположенный в четвёртой вершине квадрата?

Дано:

Сторона квадрата, $a = 10$ см

Величина одинаковых зарядов, $q = 3 \cdot 10^{-8}$ Кл

Величина четвертого заряда, $q_0 = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл

Электрическая постоянная, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Система СИ:

$a = 0.1$ м

Найти:

Результирующую силу, действующую на заряд $q_0$ — $\text{F}$

Решение:

Расположим квадрат в плоскости $\text{xy}$ так, чтобы его вершины находились в точках $(0, 0)$, $(a, 0)$, $(0, a)$ и $(a, a)$. Пусть заряд $q_0$ находится в вершине с координатами $(a, a)$, а три одинаковых заряда $\text{q}$ — в остальных трех вершинах: $(a, 0)$, $(0, a)$ и $(0, 0)$. Обозначим силы, действующие на заряд $q_0$ со стороны зарядов в точках $(a, 0)$, $(0, a)$ и $(0, 0)$ как $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$ и $\vec{F}_3$ соответственно.

Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила $\vec{F}$, действующая на заряд $q_0$, равна векторной сумме этих сил:

$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$

Так как все заряды положительные, все силы являются силами отталкивания. Рассчитаем модуль каждой силы по закону Кулона $F = k \frac{|q_a q_b|}{r^2}$.

1. Сила $\vec{F}_1$ со стороны заряда $\text{q}$ в точке $(a, 0)$. Расстояние до $q_0$ равно $\text{a}$. Сила направлена вдоль оси $\text{y}$. Ее модуль:

$F_1 = k \frac{q q_0}{a^2}$

2. Сила $\vec{F}_2$ со стороны заряда $\text{q}$ в точке $(0, a)$. Расстояние до $q_0$ также равно $\text{a}$. Сила направлена вдоль оси $\text{x}$. Ее модуль:

$F_2 = k \frac{q q_0}{a^2}$

Модули сил $F_1$ и $F_2$ равны.

3. Сила $\vec{F}_3$ со стороны заряда $\text{q}$ в точке $(0, 0)$. Расстояние до $q_0$ равно диагонали квадрата $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Сила направлена вдоль этой диагонали. Ее модуль:

$F_3 = k \frac{q q_0}{d^2} = k \frac{q q_0}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q q_0}{2a^2}$

Для нахождения результирующей силы сложим векторы. Силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ перпендикулярны. Их векторная сумма $\vec{F}_{12} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ направлена по диагонали квадрата (под углом 45° к осям), так же как и сила $\vec{F}_3$. Модуль $F_{12}$ найдем по теореме Пифагора:

$F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2} = F_1\sqrt{2} = k \frac{q q_0}{a^2}\sqrt{2}$

Поскольку векторы $\vec{F}_{12}$ и $\vec{F}_3$ сонаправлены, модуль результирующей силы $\text{F}$ равен сумме их модулей:

$F = F_{12} + F_3 = k \frac{q q_0}{a^2}\sqrt{2} + k \frac{q q_0}{2a^2}$

Вынесем общий множитель $k \frac{q q_0}{a^2}$ за скобки:

$F = k \frac{q q_0}{a^2} \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$

Подставим числовые значения:

$F = (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \frac{(3 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}) \cdot (2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл})}{(0.1 \text{ м})^2} \left(\sqrt{2} + 0.5\right)$

$F = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{6 \cdot 10^{-16}}{0.01} \left(1.414 + 0.5\right) \text{ Н}$

$F = \frac{54 \cdot 10^{-7}}{10^{-2}} \cdot 1.914 \text{ Н} = 54 \cdot 10^{-5} \cdot 1.914 \text{ Н}$

$F \approx 103.36 \cdot 10^{-5} \text{ Н} \approx 1.03 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

Сила направлена вдоль диагонали квадрата, отходящей от вершины, где расположен заряд $q_0$.

Ответ: результирующая сила, действующая на заряд, равна примерно $1.03 \cdot 10^{-3}$ Н.