Задача, страница 240 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Точечные электрические заряды $q_1, q_2$ и $q_3$ находятся в вершинах прямоугольника. Определите силу $\vec{F_3}$, с которой действуют на заряд $q_3$ электрические заряды $q_1$ и $q_2$. Расстояние между зарядами $q_3$ и $q_1$ равно 1 см, между зарядами $q_3$ и $q_2$ — 3 см; $q_3 = 10^{-9}$ Кл, $q_1 = -10^{-9}$ Кл, $q_2 = -4 \cdot 10^{-9}$ Кл.

Решение. Силу $\vec{F_3}$, с которой электрические заряды $q_1$ и $q_2$ действуют на заряд $q_3$, можно найти как сумму сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, действующих со стороны каждого из зарядов $q_1$ и $q_2$ на заряд $q_3$ (рис. 4.9): $\vec{F_3} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.

Так как угол между векторами $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ равен $90^\circ$, то модуль вектора $\vec{F_3}$ можно найти, используя теорему Пифагора: $F_3 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$, где

$F_1=k \frac{|q_1 q_3|}{r_1^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-9}}{10^{-4}} \text{ (H)} = 9 \cdot 10^{-5} \text{ H};$

$F_2=k \frac{|q_2 q_3|}{r_2^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-9}}{9 \cdot 10^{-4}} \text{ (H)} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ H};$

$F_3 = \sqrt{81 \cdot 10^{-10} + 16 \cdot 10^{-10}} \text{ (H)} \approx 10^{-4} \text{ H}.$

Рис. 4.9

Дано:

$q_1 = -10^{-9}$ Кл
$q_2 = -4 \cdot 10^{-9}$ Кл
$q_3 = 10^{-9}$ Кл
$r_1 = 1$ см (расстояние между $q_1$ и $q_3$)
$r_2 = 3$ см (расстояние между $q_2$ и $q_3$)
$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ (коэффициент пропорциональности в законе Кулона)

$r_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м} = 10^{-2} \text{ м}$
$r_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$\vec{F_3}$

Решение:

На заряд $q_3$ действуют два заряда: $q_1$ и $q_2$. Результирующая сила $\vec{F_3}$, действующая на заряд $q_3$, согласно принципу суперпозиции, равна векторной сумме сил, с которыми действуют на него заряды $q_1$ и $q_2$ по отдельности:
$\vec{F_3} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$
где $\vec{F_1}$ — сила, действующая на $q_3$ со стороны $q_1$, а $\vec{F_2}$ — сила, действующая на $q_3$ со стороны $q_2$.

1. Найдем модуль силы $\vec{F_1}$ по закону Кулона:
$F_1 = k \frac{|q_1 q_3|}{r_1^2}$
$F_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{|(-10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (10^{-9} \text{ Кл})|}{(10^{-2} \text{ м})^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-18}}{10^{-4}} = 9 \cdot 10^{9-18+4} = 9 \cdot 10^{-5}$ Н.
Так как заряды $q_1$ и $q_3$ разноимённые, они притягиваются. Следовательно, вектор силы $\vec{F_1}$ направлен от заряда $q_3$ к заряду $q_1$.

2. Аналогично найдем модуль силы $\vec{F_2}$:
$F_2 = k \frac{|q_2 q_3|}{r_2^2}$
$F_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{|(-4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (10^{-9} \text{ Кл})|}{(3 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-18}}{9 \cdot 10^{-4}} = \frac{9 \cdot 4}{9} \cdot 10^{9-18+4} = 4 \cdot 10^{-5}$ Н.
Заряды $q_2$ и $q_3$ также разноимённые, поэтому они притягиваются. Вектор силы $\vec{F_2}$ направлен от заряда $q_3$ к заряду $q_2$.

3. Из условия задачи и рисунка следует, что заряды находятся в вершинах прямоугольника, причем $q_3$ находится в вершине с прямым углом. Это означает, что векторы сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ взаимно перпендикулярны (угол между ними $90^\circ$).
Модуль результирующей силы $\vec{F_3}$ в этом случае можно найти по теореме Пифагора:
$F_3 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$
$F_3 = \sqrt{(9 \cdot 10^{-5})^2 + (4 \cdot 10^{-5})^2} = \sqrt{81 \cdot 10^{-10} + 16 \cdot 10^{-10}} = \sqrt{(81+16) \cdot 10^{-10}}$
$F_3 = \sqrt{97 \cdot 10^{-10}} = \sqrt{97} \cdot 10^{-5}$ Н.
Вычислим значение $\sqrt{97} \approx 9.85$.
$F_3 \approx 9.85 \cdot 10^{-5}$ Н.
Округляя, можно получить значение, близкое к $10 \cdot 10^{-5}$ Н или $10^{-4}$ Н, как указано в примере из учебника.

Ответ: $F_3 \approx 9.85 \cdot 10^{-5}$ Н.