Номер 45.4, страница 240 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

45.4. Какая доля атомов в звёздах должна потерять электроны для того, чтобы силы кулоновского отталкивания положительно заряженных звёзд скомпенсировали силы всемирного тяготения? Звёзды считайте состоящими из водорода.

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Коэффициент в законе Кулона $k \approx 8.987 \times 10^{9} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$
Масса протона (приблизительная масса атома водорода) $m_p \approx 1.672 \times 10^{-27} \text{ кг}$
Элементарный заряд $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$
Звёзды состоят из водорода.
Условие: сила кулоновского отталкивания равна силе гравитационного притяжения ($F_c = F_g$).
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Долю ионизированных атомов $\eta$.

Решение:

Рассмотрим две одинаковые звезды массой $\text{M}$ каждая, находящиеся на расстоянии $\text{R}$ друг от друга. По условию задачи, сила гравитационного притяжения $F_g$ между ними скомпенсирована силой кулоновского отталкивания $F_c$.
$F_g = F_c$
Сила всемирного тяготения определяется по формуле:
$F_g = G \frac{M^2}{R^2}$
Сила кулоновского отталкивания определяется по формуле:
$F_c = k \frac{q^2}{R^2}$
где $\text{q}$ — положительный заряд каждой звезды.
Приравняем силы:
$G \frac{M^2}{R^2} = k \frac{q^2}{R^2}$
Расстояние $\text{R}$ между звёздами сокращается:
$G M^2 = k q^2$
Отсюда можно выразить отношение заряда к массе для одной звезды:
$\frac{q^2}{M^2} = \frac{G}{k}$
$\frac{q}{M} = \sqrt{\frac{G}{k}}$
Теперь выразим массу $\text{M}$ и заряд $\text{q}$ звезды через параметры составляющих её атомов. Пусть звезда состоит из $\text{N}$ атомов водорода. Масса одного атома водорода приблизительно равна массе протона $m_p$ (массой электрона можно пренебречь). Тогда масса звезды:
$M = N \cdot m_p$
Пусть $\eta$ — это искомая доля атомов, которые потеряли свой электрон (ионизировались). Заряд каждого ионизированного атома водорода (протона) равен элементарному заряду $+e$. Тогда общий заряд звезды равен:
$q = (\eta \cdot N) \cdot e$
Найдем отношение заряда к массе для звезды, выраженное через атомные характеристики:
$\frac{q}{M} = \frac{\eta \cdot N \cdot e}{N \cdot m_p} = \eta \frac{e}{m_p}$
Теперь приравняем два полученных выражения для отношения $\frac{q}{M}$:
$\eta \frac{e}{m_p} = \sqrt{\frac{G}{k}}$
Выразим искомую долю $\eta$:
$\eta = \frac{m_p}{e} \sqrt{\frac{G}{k}}$
Подставим численные значения физических констант:
$\eta = \frac{1.672 \times 10^{-27} \text{ кг}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}} \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}{8.987 \times 10^{9} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}}$
$\eta \approx (1.044 \times 10^{-8} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}}) \cdot \sqrt{0.7426 \times 10^{-20} \frac{\text{Кл}^2}{\text{кг}^2}}$
$\eta \approx (1.044 \times 10^{-8} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}}) \cdot (0.8617 \times 10^{-10} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}})$
$\eta \approx 8.995 \times 10^{-19}$
Полученное значение показывает, что для компенсации гравитационного притяжения достаточно, чтобы лишь ничтожно малая часть атомов потеряла электроны. Это демонстрирует, насколько электромагнитное взаимодействие сильнее гравитационного.

Ответ: чтобы силы кулоновского отталкивания скомпенсировали силы всемирного тяготения, электроны должна потерять доля атомов, равная приблизительно $9.0 \times 10^{-19}$.