Номер 60.4, страница 309 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

60.4. Угольный стержень соединён последовательно с железным стержнем такой же толщины. При каком соотношении их длин сопротивление данной комбинации не зависит от температуры? Температурные коэффициенты сопротивления угля и железа соответственно равны $\alpha_1 = -8 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1}$ и $\alpha_2 = 6 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$, удельные электрические сопротивления угля и железа считайте соответственно равными $\rho_1 = 4.10 \cdot 10^5 \text{ Ом} \cdot \text{ м}$ и $\rho_2 = 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{ м}$.

Дано:

Стержни соединены последовательно.

Площадь поперечного сечения стержней одинакова: $ S_1 = S_2 = S $.

Температурный коэффициент сопротивления угля: $ \alpha_1 = -8 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1} $

Температурный коэффициент сопротивления железа: $ \alpha_2 = 6 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1} $

Удельное электрическое сопротивление угля: $ \rho_1 = 4.10 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м} $

Удельное электрическое сопротивление железа: $ \rho_2 = 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м} $

Найти:

Соотношение длин стержней $ \frac{l_1}{l_2} $.

Решение:

Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается формулой:

$ R_t = R_0 (1 + \alpha \Delta t) $

где $ R_0 $ – сопротивление при начальной температуре, $ \alpha $ – температурный коэффициент сопротивления, а $ \Delta t $ – изменение температуры.

Сопротивление стержня при начальной температуре определяется как $ R_0 = \frac{\rho l}{S} $, где $ \rho $ – удельное сопротивление, $\text{l}$ – длина, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения.

Для угольного стержня (индекс 1) и железного стержня (индекс 2) сопротивления при изменении температуры $ \Delta t $ будут:

$ R_{t1} = R_{01}(1 + \alpha_1 \Delta t) = \frac{\rho_1 l_1}{S}(1 + \alpha_1 \Delta t) $

$ R_{t2} = R_{02}(1 + \alpha_2 \Delta t) = \frac{\rho_2 l_2}{S}(1 + \alpha_2 \Delta t) $

Поскольку стержни соединены последовательно, общее сопротивление $ R_{общ} $ равно сумме их сопротивлений:

$ R_{общ} = R_{t1} + R_{t2} = \frac{\rho_1 l_1}{S}(1 + \alpha_1 \Delta t) + \frac{\rho_2 l_2}{S}(1 + \alpha_2 \Delta t) $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$ R_{общ} = \frac{\rho_1 l_1}{S} + \frac{\rho_1 l_1 \alpha_1 \Delta t}{S} + \frac{\rho_2 l_2}{S} + \frac{\rho_2 l_2 \alpha_2 \Delta t}{S} $

$ R_{общ} = \left(\frac{\rho_1 l_1}{S} + \frac{\rho_2 l_2}{S}\right) + \left(\frac{\rho_1 l_1 \alpha_1}{S} + \frac{\rho_2 l_2 \alpha_2}{S}\right)\Delta t $

По условию задачи, сопротивление комбинации не зависит от температуры. Это означает, что член, содержащий $ \Delta t $, должен быть равен нулю:

$ \frac{\rho_1 l_1 \alpha_1}{S} + \frac{\rho_2 l_2 \alpha_2}{S} = 0 $

Умножим обе части уравнения на $\text{S}$ (так как $ S \neq 0 $):

$ \rho_1 l_1 \alpha_1 + \rho_2 l_2 \alpha_2 = 0 $

Теперь выразим искомое соотношение длин $ \frac{l_1}{l_2} $:

$ \rho_1 l_1 \alpha_1 = - \rho_2 l_2 \alpha_2 $

$ \frac{l_1}{l_2} = - \frac{\rho_2 \alpha_2}{\rho_1 \alpha_1} $

Подставим числовые значения из условия:

$ \frac{l_1}{l_2} = - \frac{(1.2 \cdot 10^{-7}) \cdot (6 \cdot 10^{-3})}{(4.10 \cdot 10^{-5}) \cdot (-8 \cdot 10^{-4})} $

$ \frac{l_1}{l_2} = \frac{1.2 \cdot 6 \cdot 10^{-10}}{4.10 \cdot 8 \cdot 10^{-9}} = \frac{7.2 \cdot 10^{-10}}{32.8 \cdot 10^{-9}} $

$ \frac{l_1}{l_2} = \frac{7.2}{32.8} \cdot 10^{-1} \approx 0.2195 \cdot 10^{-1} \approx 0.02195 $

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$ \frac{l_1}{l_2} \approx 0.022 $

Ответ: $ \frac{l_1}{l_2} \approx 0.022 $.