Номер 2, страница 323 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Электрон влетает в плоский конденсатор со скоростью $4 \cdot 10^7$ м/с параллельно его пластинам. Под действием электрического поля электрон смещается от первоначального направления на 2 мм. Длина конденсатора 6 см, расстояние между его пластинами 0,5 см. Определите напряжение между пластинами конденсатора. Масса электрона $9,1 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд $1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Решение. При движении электрона в конденсаторе его абсцисса изменяется по закону равномерного движения $x = vt$, так как в направлении оси ОХ сила не действует (рис. 6.20), ордината же изменяется по закону равноускоренного движения $y = at^2/2$ за счёт действия в этом направлении электрической силы. В момент вылета электрона из конденсатора его координаты соответственно равны $x = l$ и $y = h$. Учитывая это, можно записать:

$l = vt, \quad h = at^2/2$.

Исключив время из этих уравнений, получим

$$h = \frac{al^2}{2v^2} \quad (1)$$

Ускорение можно определить из второго закона Ньютона $a = \frac{F}{m}$, где $F = eE$. Следовательно, $a = \frac{eE}{m}$. Так как $E = \frac{U}{d}$, то $a = \frac{eU}{md}$. Отсюда

$$U = \frac{amd}{e}$$

Заменив здесь $\text{a}$ его значением из выражения (1), окончательно для напряжения будем иметь

$$U = \frac{2v^2hmd}{l^2e} = \frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{14} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 0,5 \cdot 10^{-2}}{36 \cdot 10^{-4} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 50 \text{ В.}$$

Рис. 6.20

Дано:

Скорость электрона, $v = 4 \cdot 10^7$ м/с

Смещение электрона, $h = 2$ мм

Длина конденсатора, $l = 6$ см

Расстояние между пластинами, $d = 0.5$ см

Масса электрона, $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Заряд электрона, $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

$h = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$l = 6 \text{ см} = 6 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$d = 0.5 \text{ см} = 0.5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Напряжение между пластинами, $U - ?$

Решение:

Движение электрона в конденсаторе можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного движения вдоль пластин (по оси OX) и равноускоренного движения перпендикулярно пластинам (по оси OY).

Время, за которое электрон пролетает конденсатор, определяется его горизонтальной скоростью и длиной пластин:

$l = v \cdot t$

Отсюда время движения $\text{t}$ равно:

$t = \frac{l}{v}$

За это время под действием электрического поля электрон смещается в вертикальном направлении на расстояние $\text{h}$. Так как начальная вертикальная скорость равна нулю, это движение является равноускоренным:

$h = \frac{a t^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для времени $\text{t}$:

$h = \frac{a}{2} \left(\frac{l}{v}\right)^2 = \frac{a l^2}{2 v^2}$

Ускорение $\text{a}$ электрону сообщает электрическая сила $\text{F}$, действующая на него в поле конденсатора. Согласно второму закону Ньютона:

$F = m_e a$

Сила, действующая на заряд в однородном электрическом поле, равна $F = eE$. Таким образом:

$m_e a = eE$

Откуда ускорение $\text{a}$ равно:

$a = \frac{eE}{m_e}$

Напряженность электрического поля $\text{E}$ в плоском конденсаторе связана с напряжением $\text{U}$ и расстоянием между пластинами $\text{d}$ соотношением:

$E = \frac{U}{d}$

Подставим это выражение в формулу для ускорения:

$a = \frac{eU}{m_e d}$

Теперь приравняем два полученных выражения для ускорения $\text{a}$. Из формулы для смещения $\text{h}$ выразим $a = \frac{2 h v^2}{l^2}$.

$\frac{eU}{m_e d} = \frac{2 h v^2}{l^2}$

Выразим из этого уравнения искомое напряжение $\text{U}$:

$U = \frac{2 h v^2 m_e d}{e l^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$U = \frac{2 \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot (4 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2 \cdot (9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (0.5 \cdot 10^{-2} \text{ м})}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (6 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2}$

$U = \frac{2 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 16 \cdot 10^{14} \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 0.5 \cdot 10^{-2}}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 36 \cdot 10^{-4}} \text{ В}$

$U = \frac{(2 \cdot 2 \cdot 16 \cdot 9.1 \cdot 0.5) \cdot 10^{-3+14-31-2}}{(1.6 \cdot 36) \cdot 10^{-19-4}} \text{ В}$

$U = \frac{291.2 \cdot 10^{-22}}{57.6 \cdot 10^{-23}} \text{ В} = \frac{291.2}{57.6} \cdot 10^1 \text{ В} \approx 5.056 \cdot 10 \text{ В} \approx 50.56 \text{ В}$

Ответ: $U \approx 50.6$ В.