Номер 5, страница 361 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

5. Два первоначально покоящихся электрона ускоряются в электрическом поле: первый в поле с разностью потенциалов $\text{U}$, второй — $\text{4U}$. Ускорившиеся электроны попадают в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны скорости движения электронов. Отношение радиусов кривизны траекторий первого и второго электронов в магнитном поле равно

1) $\frac{1}{4}$

2) $\frac{1}{2}$

3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) $\sqrt{2}$

Дано:

Разность потенциалов для первого электрона: $U_1 = U$

Разность потенциалов для второго электрона: $U_2 = 4U$

Начальная скорость электронов: $v_0 = 0$

Заряд электрона: $\text{e}$

Масса электрона: $m_e$

Магнитная индукция: $\text{B}$

Скорость электронов перпендикулярна линиям индукции магнитного поля.

Найти:

Отношение радиусов кривизны траекторий: $\frac{R_1}{R_2}$

Решение:

1. Когда электрон ускоряется в электрическом поле, работа поля $\text{A}$ полностью переходит в кинетическую энергию электрона $E_k$, так как начальная скорость равна нулю. Согласно теореме о кинетической энергии:

$A = E_k$

Работа электрического поля по перемещению заряда $\text{e}$ через разность потенциалов $\text{U}$ равна $A = eU$. Кинетическая энергия электрона, движущегося со скоростью $\text{v}$, равна $E_k = \frac{m_e v^2}{2}$.

Приравнивая эти выражения, получаем: $eU = \frac{m_e v^2}{2}$.

Из этого уравнения можно выразить скорость $\text{v}$, которую приобретает электрон после ускорения:

$v = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Теперь найдем скорости первого и второго электронов:

Скорость первого электрона, ускоренного разностью потенциалов $U_1 = U$:

$v_1 = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Скорость второго электрона, ускоренного разностью потенциалов $U_2 = 4U$:

$v_2 = \sqrt{\frac{2e(4U)}{m_e}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2eU}{m_e}} = 2\sqrt{\frac{2eU}{m_e}} = 2v_1$

2. После ускорения электроны влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. В этом случае на каждый электрон действует сила Лоренца $F_Л$, которая перпендикулярна скорости и сообщает ему центростремительное ускорение. В результате электрон движется по окружности.

Сила Лоренца $F_Л$ равна центростремительной силе $F_{цс}$:

$F_Л = F_{цс}$

$evB = \frac{m_e v^2}{R}$

Из этого равенства выразим радиус $\text{R}$ траектории движения электрона:

$R = \frac{m_e v}{eB}$

3. Найдем искомое отношение радиусов траекторий первого ($R_1$) и второго ($R_2$) электронов. Радиусы их траекторий равны:

$R_1 = \frac{m_e v_1}{eB}$ и $R_2 = \frac{m_e v_2}{eB}$

Отношение радиусов:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{m_e v_1}{eB}}{\frac{m_e v_2}{eB}}$

Так как масса $m_e$, заряд $\text{e}$ и магнитная индукция $\text{B}$ одинаковы для обоих электронов, эти величины сокращаются:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1}{v_2}$

Подставим ранее найденное соотношение скоростей ($v_2 = 2v_1$):

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1}{2v_1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$