Задача, страница 367 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Рассчитайте установившуюся скорость падения перемычки вдоль проволочного каркаса в магнитном поле, линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны плоскости каркаса. Длина перемычки $\text{l}$, её масса $\text{m}$, электрическое сопротивление $\text{R}$. Модуль индукции магнитного поля $\text{B}$.

Решение.

При падении перемычки изменяется площадь проволочного контура, следовательно, изменяется пронизывающий его магнитный поток. При этом в контуре возникает ЭДС индукции, модуль которой можно найти, используя формулу (74.2):

$$E = Blv.$$

В металлической перемычке под действием ЭДС индукции возникает ток. Сила тока определяется по закону Ома:

$$I = \frac{E}{R} = \frac{Blv}{R}.$$

По мере увеличения скорости перемычки сила тока возрастает, следовательно, увеличивается сила Ампера, действующая на перемычку и тормозящая её движение:

$$F_M = IBl = \frac{B^2 l^2 v}{R}.$$

При достижении равенства силы тяжести, действующей на перемычку, и силы Ампера перемычка начинает двигаться с постоянной скоростью, которую легко определить из этого условия: $mg = F_M$, или $mg = \frac{B^2 l^2 v}{R}$, откуда

$$v = \frac{mgR}{(Bl)^2}.$$

Дано:

Длина перемычки - $\text{l}$

Масса перемычки - $\text{m}$

Электрическое сопротивление контура - $\text{R}$

Модуль индукции магнитного поля - $\text{B}$

Ускорение свободного падения - $\text{g}$

Найти:

Установившаяся скорость падения перемычки - $\text{v}$

Решение:

При падении перемычки под действием силы тяжести $F_т = mg$ в однородном магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции. Поскольку перемычка, ее скорость и линии магнитной индукции взаимно перпендикулярны, модуль ЭДС определяется по формуле:

$ε = Blv$

где $\text{v}$ — мгновенная скорость перемычки.

Перемычка вместе с проволочным каркасом образует замкнутый контур с сопротивлением $\text{R}$. Возникшая ЭДС создает в этом контуре индукционный ток. Согласно закону Ома для замкнутой цепи, сила этого тока равна:

$I = \frac{ε}{R} = \frac{Blv}{R}$

На проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера. В данном случае эта сила направлена против движения перемычки (согласно правилу Ленца), то есть вверх, и тормозит ее падение. Модуль силы Ампера рассчитывается по формуле:

$F_А = IBl$

Подставим в эту формулу выражение для силы тока $\text{I}$:

$F_А = \frac{Blv}{R} \cdot Bl = \frac{B^2l^2v}{R}$

Таким образом, на перемычку действуют две силы: направленная вниз сила тяжести $F_т$ и направленная вверх сила Ампера $F_А$. По мере увеличения скорости падения $\text{v}$ сила Ампера $F_А$ возрастает. В некоторый момент времени она станет равной по модулю силе тяжести. С этого момента, согласно второму закону Ньютона, ускорение перемычки станет равным нулю, и она будет двигаться с постоянной установившейся скоростью $\text{v}$.

Условие для движения с постоянной скоростью — равенство сил, действующих на перемычку:

$F_т = F_А$

Подставим выражения для этих сил:

$mg = \frac{B^2l^2v}{R}$

Выразим из этого уравнения установившуюся скорость $\text{v}$:

$v = \frac{mgR}{B^2l^2}$ или $v = \frac{mgR}{(Bl)^2}$

Ответ: установившаяся скорость падения перемычки равна $v = \frac{mgR}{(Bl)^2}$.