Номер 5, страница 81 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 17. Принцип относительности Галилея - номер 5, страница 81.

Условие.

5. Сформулируйте принцип относительности Галилея. Разъясните его смысл.

Решение.

4. Получите преобразования Галилея и закон сложения скоростей.

Для вывода преобразований Галилея и закона сложения скоростей рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО): $K$ и $K'$.

Пусть система $K$ (с координатами $x, y, z$) неподвижна, а система $K'$ (с координатами $x', y', z'$) движется относительно $K$ с постоянной скоростью $\vec{V}$ вдоль оси $Ox$. Будем считать, что в начальный момент времени $t=t'=0$ начала координат обеих систем совпадали ($O$ и $O'$), а соответствующие оси были параллельны.

Преобразования Галилея:

В классической механике время считается абсолютным, то есть оно течет одинаково во всех ИСО. Отсюда следует первое уравнение: $t' = t$.

За время $t$ система $K'$ сместится вдоль оси $Ox$ на расстояние $Vt$. Рассмотрим произвольную материальную точку $P$ с координатами $(x, y, z)$ в системе $K$ и $(x', y', z')$ в системе $K'$. Связь между координатами будет следующей:

Координата $x$ в системе $K$ равна сумме смещения системы $K'$ ($Vt$) и координаты $x'$ в этой системе: $x = x' + Vt$. Отсюда $x' = x - Vt$.

Так как движение происходит только вдоль оси $Ox$, координаты по другим осям не изменяются: $y' = y$ и $z' = z$.

Таким образом, преобразования Галилея для координат и времени имеют вид:

$x' = x - Vt$

$y' = y$

$z' = z$

$t' = t$

В векторной форме: $\vec{r'} = \vec{r} - \vec{V}t$, где $\vec{r}$ и $\vec{r'}$ - радиус-векторы точки в системах $K$ и $K'$ соответственно.

Закон сложения скоростей:

Чтобы получить закон сложения скоростей, продифференцируем по времени векторное уравнение преобразований Галилея для координат:

$\frac{d\vec{r'}}{dt'} = \frac{d(\vec{r} - \vec{V}t)}{dt}$

Учитывая, что $t'=t$ и скорость $\vec{V}$ постоянна, получаем:

$\frac{d\vec{r'}}{dt'} = \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{V}$

По определению, скорость тела в системе $K'$ есть $\vec{v'} = \frac{d\vec{r'}}{dt'}$, а в системе $K$ - $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$. Подставляя эти определения в уравнение, получаем классический закон сложения скоростей:

$\vec{v'} = \vec{v} - \vec{V}$ или в более привычной форме $\vec{v} = \vec{v'} + \vec{V}$

Этот закон гласит, что скорость тела в "неподвижной" системе отсчета равна векторной сумме его скорости в "движущейся" системе отсчета и скорости самой "движущейся" системы относительно "неподвижной".

Ответ: Преобразования Галилея связывают координаты и время события в двух инерциальных системах отсчета, одна из которых движется относительно другой со скоростью $V$ вдоль оси $x$: $x' = x - Vt$, $y' = y$, $z' = z$, $t' = t$. Закон сложения скоростей, получаемый из этих преобразований, имеет вид: $\vec{v} = \vec{v'} + \vec{V}$.

5. Сформулируйте принцип относительности Галилея. Разъясните его смысл.

Формулировка принципа относительности Галилея:

Все законы механики инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Это означает, что уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковый вид во всех ИСО.

Или в другой формулировке: Никакими механическими опытами, проведенными внутри замкнутой системы, невозможно установить, находится ли эта система в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Разъяснение смысла:

Смысл принципа относительности заключается в том, что все инерциальные системы отсчета являются равноправными с точки зрения механики. Не существует какой-либо выделенной, "абсолютно неподвижной" системы отсчета.

1. Инвариантность законов. Этот принцип утверждает, что математическая форма законов механики не меняется при переходе от одной ИСО к другой. Например, второй закон Ньютона $\vec{F} = m\vec{a}$ справедлив во всех ИСО. Это следует из преобразований Галилея: ускорение тела одинаково во всех ИСО ($\vec{a'} = \vec{a}$), а силы в классической механике зависят только от взаимного расположения и относительных скоростей тел, но не от скорости системы отсчета в целом ($\vec{F'} = \vec{F}$). Поэтому если в одной ИСО выполняется $\vec{F} = m\vec{a}$, то и в любой другой ИСО будет выполняться $\vec{F'} = m\vec{a'}$.

2. Невозможность обнаружения равномерного движения. Из этого принципа следует, что невозможно определить абсолютную скорость. Можно говорить лишь об относительной скорости одного тела по отношению к другому. Например, находясь в закрытой каюте корабля, который плывет по спокойной воде с постоянной скоростью, вы не сможете с помощью каких-либо механических опытов (например, наблюдая за падением предметов или качанием маятника) определить, движется корабль или стоит у причала. Все механические явления будут протекать совершенно одинаково в обоих случаях. Чтобы обнаружить движение, вам нужно посмотреть наружу и увидеть свое перемещение относительно берега.

Таким образом, принцип относительности Галилея устанавливает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета для описания механических явлений.

Ответ: Принцип относительности Галилея утверждает, что все законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Его смысл состоит в том, что все ИСО равноправны, и никакими внутренними механическими экспериментами нельзя отличить состояние покоя от состояния равномерного прямолинейного движения.