Номер 4, страница 81 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 17. Принцип относительности Галилея - номер 4, страница 81.

Условие.

4. Получите преобразования Галилея и закон сложения скоростей.

Решение.

Для вывода преобразований Галилея и закона сложения скоростей рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО): неподвижную систему $K$ с координатами $(x, y, z)$ и подвижную систему $K'$ с координатами $(x', y', z')$. Пусть система $K'$ движется относительно системы $K$ с постоянной скоростью $\vec{V}$ вдоль оси $x$. Для упрощения будем считать, что в начальный момент времени $t = t' = 0$ начала координат обеих систем совпадают ($O$ и $O'$), а соответствующие оси ($x$ и $x'$, $y$ и $y'$, $z$ и $z'$) параллельны друг другу. В классической механике время считается абсолютным, то есть $t' = t$.

Преобразования Галилея

Рассмотрим произвольную точку в пространстве, положение которой в момент времени $t$ описывается радиус-вектором $\vec{r}$ в системе $K$ и $\vec{r}'$ в системе $K'$.

За время $t$ начало координат $O'$ системы $K'$ сместится относительно начала координат $O$ системы $K$ на расстояние $\vec{V}t$. Из векторного треугольника, образованного векторами $\vec{r}$, $\vec{r}'$ и $\vec{V}t$, следует:

$\vec{r} = \vec{r}' + \vec{V}t$

Отсюда можно выразить координаты в движущейся системе отсчета $K'$ через координаты в неподвижной системе $K$:

$\vec{r}' = \vec{r} - \vec{V}t$

Запишем это соотношение в координатной форме, учитывая, что движение происходит вдоль оси $x$ (т.е. $V_x = V$, $V_y = 0$, $V_z = 0$):

$x' = x - Vt$

$y' = y$

$z' = z$

Добавив к этому постулат об абсолютности времени, получим полную систему преобразований Галилея.

Ответ: Преобразования Галилея, связывающие координаты $(x, y, z, t)$ события в неподвижной ИСО $K$ с координатами $(x', y', z', t')$ того же события в ИСО $K'$, движущейся со скоростью $V$ вдоль оси $x$, имеют вид:

$x' = x - Vt$

$y' = y$

$z' = z$

$t' = t$

В векторной форме: $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{V}t$, $t' = t$.

Закон сложения скоростей

Чтобы получить закон сложения скоростей, продифференцируем по времени векторное уравнение преобразований Галилея $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{V}t$. Так как в классической механике $t' = t$, то производная по $t$ эквивалентна производной по $t'$.

$\frac{d\vec{r}'}{dt'} = \frac{d}{dt}(\vec{r} - \vec{V}t)$

По определению, скорость тела в системе $K'$ есть $\vec{v}' = \frac{d\vec{r}'}{dt'}$, а в системе $K$ — $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$. Скорость $\vec{V}$ системы $K'$ относительно $K$ постоянна.

Тогда:

$\vec{v}' = \frac{d\vec{r}}{dt} - \frac{d(\vec{V}t)}{dt} = \vec{v} - \vec{V}$

Выразим отсюда скорость $\vec{v}$ в неподвижной системе отсчета:

$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{V}$

Это выражение является классическим (галилеевым) законом сложения скоростей. Оно гласит, что скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости этого тела относительно движущейся системы отсчета и скорости самой движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Ответ: Закон сложения скоростей в классической механике имеет вид: $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{V}$, где $\vec{v}$ — скорость тела в неподвижной системе отсчета $K$, $\vec{v}'$ — скорость тела в движущейся системе отсчета $K'$, а $\vec{V}$ — скорость системы $K'$ относительно системы $K$.