Номер 3, страница 206 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 7. Релятивистская механика. Параграф 43. Относительность времени - номер 3, страница 206.

Условие.

3. Будет ли определённым порядок следования событий, если разделяющий их промежуток времени больше времени, необходимого для распространения света между ними?

Решение.

3. Будет ли определённым порядок следования событий, если разделяющий их промежуток времени больше времени, необходимого для распространения света между ними?

Да, порядок следования таких событий будет определённым и одинаковым для всех инерциальных систем отсчёта. Это является одним из фундаментальных следствий специальной теории относительности (СТО).

Решение

Рассмотрим два события, разделённые в некоторой инерциальной системе отсчёта (ИСО) промежутком времени $ \Delta t $ и расстоянием в пространстве $ \Delta l $.

Время, необходимое свету, чтобы преодолеть расстояние $ \Delta l $, равно $ \Delta t_{свет} = \frac{\Delta l}{c} $, где $ c $ — скорость света в вакууме.

Согласно условию задачи, временной промежуток между событиями больше времени, которое требуется свету для распространения между ними:

$ \Delta t > \frac{\Delta l}{c} $

Это неравенство можно переписать как $ c\Delta t > \Delta l $.

В СТО для классификации связи между двумя событиями используется понятие пространственно-временного интервала $ s $, квадрат которого инвариантен (одинаков) во всех ИСО:

$ s^2 = (c\Delta t)^2 - (\Delta l)^2 $

Из условия $ c\Delta t > \Delta l $ следует, что $ (c\Delta t)^2 > (\Delta l)^2 $, а значит, $ s^2 > 0 $. Такой интервал называется времениподобным.

Физический смысл времениподобного интервала заключается в том, что между двумя такими событиями может существовать причинно-следственная связь. То есть первое событие может повлиять на второе, поскольку сигнал (или тело), распространяющийся со скоростью $ v < c $, успеет за время $ \Delta t $ преодолеть расстояние $ \Delta l $.

Согласно преобразованиям Лоренца, промежуток времени $ \Delta t' $ между этими же событиями в другой ИСО, движущейся со скоростью $ v $ относительно первой, определяется формулой:

$ \Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right) $, где $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $, а $ \Delta x $ — проекция расстояния $ \Delta l $ на ось движения.

Чтобы порядок событий изменился, необходимо, чтобы знак $ \Delta t' $ стал противоположным знаку $ \Delta t $ (или стал равен нулю). Пусть $ \Delta t > 0 $. Тогда для смены порядка нужно, чтобы $ \Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2} \le 0 $, то есть $ \Delta t \le \frac{v \Delta x}{c^2} $.

Однако из начального условия $ c\Delta t > \Delta l $ и того, что $ \Delta l \ge |\Delta x| $ (расстояние всегда не меньше своей проекции), следует $ c\Delta t > |\Delta x| $, или $ \Delta t > \frac{|\Delta x|}{c} $.

Поскольку скорость относительного движения систем $ v $ всегда меньше скорости света $ c $ ($ v < c $), то $ \frac{|v \Delta x|}{c^2} < \frac{c |\Delta x|}{c^2} = \frac{|\Delta x|}{c} $.

Таким образом, мы имеем цепочку неравенств: $ \Delta t > \frac{|\Delta x|}{c} > \frac{|v \Delta x|}{c^2} $.

Это означает, что $ \Delta t $ всегда больше, чем $ \frac{v \Delta x}{c^2} $, и, следовательно, выражение $ \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right) $ всегда будет иметь тот же знак, что и $ \Delta t $.

Таким образом, если в одной системе отсчёта событие A произошло раньше события B, то во всех других инерциальных системах отсчёта событие A также произойдёт раньше события B. Порядок следования событий с времениподобным интервалом является абсолютным.

Ответ: Да, порядок следования событий будет определённым (абсолютным), так как эти события связаны времениподобным интервалом, что обеспечивает сохранение причинно-следственных связей во всех инерциальных системах отсчёта.