Номер 4, страница 319 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 12. Твёрдое тело. Параграф 67. Кристаллизация и плавление твёрдых тел. Задачи - номер 4, страница 319.

Условие.

4. Две одинаковые льдинки летят навстречу друг другу с равной скоростью и при абсолютно неупругом ударе превращаются в пар при температуре $100^\circ\text{C}$. Температура льдинок до удара $-10^\circ\text{C}$. Определите скорость льдинок до удара. Удельная теплоёмкость льда $2,1 \cdot 10^3 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$.

Решение.

Дано:
Масса льдинок: $m_1 = m_2 = m$
Скорость льдинок: $v_1 = v_2 = v$
Начальная температура льдинок: $t_1 = -10$ °C
Конечная температура пара: $t_2 = 100$ °C
Удельная теплоёмкость льда: $c_л = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К)

Справочные данные:
Температура плавления льда: $t_{пл} = 0$ °C
Удельная теплоёмкость воды: $c_в = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К)
Удельная теплота плавления льда: $\lambda = 3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг
Удельная теплота парообразования воды: $L = 2,3 \cdot 10^6$ Дж/кг

Найти:
Скорость льдинок до удара $v$.

Решение:
Поскольку льдинки летят навстречу друг другу с равными скоростями и имеют одинаковую массу, их суммарный импульс до столкновения равен нулю. При абсолютно неупругом ударе они останавливаются, и вся их суммарная кинетическая энергия переходит во внутреннюю энергию, то есть в теплоту $Q$.
Суммарная кинетическая энергия двух льдинок до столкновения:
$E_к = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$
Выделившаяся теплота $Q$ расходуется на несколько процессов для всей массы льда $M = 2m$ :
1. Нагревание льда от температуры $t_1 = -10$ °C до температуры плавления $t_{пл} = 0$ °C. Количество теплоты для этого процесса: $Q_1 = c_л \cdot M \cdot (t_{пл} - t_1) = c_л \cdot (2m) \cdot (0 - (-10)) = 20 m c_л$
2. Плавление льда при температуре $t_{пл} = 0$ °C: $Q_2 = \lambda \cdot M = \lambda \cdot (2m)$
3. Нагревание образовавшейся воды от $t_{пл} = 0$ °C до температуры кипения $t_2 = 100$ °C: $Q_3 = c_в \cdot M \cdot (t_2 - t_{пл}) = c_в \cdot (2m) \cdot (100 - 0) = 200 m c_в$
4. Превращение всей воды в пар при температуре $t_2 = 100$ °C: $Q_4 = L \cdot M = L \cdot (2m)$
Суммарное количество теплоты равно: $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4$
$Q = 2m(c_л(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_в(t_2 - t_{пл}) + L)$
По закону сохранения энергии $E_к = Q$:
$mv^2 = 2m(c_л(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_в(t_2 - t_{пл}) + L)$
Сокращаем массу $m$ в обеих частях уравнения:
$v^2 = 2(c_л(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_в(t_2 - t_{пл}) + L)$
Отсюда выражаем скорость $v$ :
$v = \sqrt{2(c_л(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_в(t_2 - t_{пл}) + L)}$
Подставим численные значения:
$v = \sqrt{2 \cdot (2,1 \cdot 10^3 \cdot (0 - (-10)) + 3,3 \cdot 10^5 + 4,2 \cdot 10^3 \cdot (100 - 0) + 2,3 \cdot 10^6)}$
$v = \sqrt{2 \cdot (2,1 \cdot 10^3 \cdot 10 + 3,3 \cdot 10^5 + 4,2 \cdot 10^3 \cdot 100 + 2,3 \cdot 10^6)}$
$v = \sqrt{2 \cdot (21000 + 330000 + 420000 + 2300000)}$
$v = \sqrt{2 \cdot (3071000)}$
$v = \sqrt{6142000} \approx 2478,3$ м/с.
Округляя результат до двух значащих цифр, как в наименее точном данном значении ($c_л = 2,1 \cdot 10^3$), получаем:
$v \approx 2,5 \cdot 10^3$ м/с, или 2,5 км/с.

Ответ: скорость льдинок до удара составляет примерно $2,5 \cdot 10^3$ м/с.