Номер 2, страница 328 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 70. Механические свойства твёрдых тел. 12. Твёрдое тело. Молекулярная физика - номер 2, страница 328.

Условие.

2. Какой минимальный диаметр должен иметь стальной трос подъёмного крана, если максимальная масса поднимаемого груза 5 т? Предел прочности стальной проволоки с учётом пятикратного запаса прочности равен $1,1 \cdot 10^8$ Па.

Решение.

Дано:

Максимальная масса груза $m = 5$ т

Предел прочности стали $\sigma_{пр} = 1,1 \cdot 10^8$ Па

Коэффициент запаса прочности $k = 5$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 5 \text{ т} = 5 \cdot 10^3 \text{ кг}$

Найти:

$d_{min}$ - минимальный диаметр троса.

Решение:

1. Найдём силу натяжения троса, которая равна весу максимального груза:

$F = m \cdot g = 5 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 49000 \text{ Н}.$

2. Рассчитаем допускаемое напряжение $[\sigma]$ для материала троса. Оно равно пределу прочности, делённому на коэффициент запаса прочности, который обеспечивает безопасную эксплуатацию:

$[\sigma] = \frac{\sigma_{пр}}{k} = \frac{1,1 \cdot 10^8 \text{ Па}}{5} = 0,22 \cdot 10^8 \text{ Па} = 2,2 \cdot 10^7 \text{ Па}.$

3. Механическое напряжение $\sigma$ в тросе определяется как отношение силы $F$ к площади поперечного сечения троса $S$. Для обеспечения прочности это напряжение не должно превышать допускаемое:

$\sigma = \frac{F}{S} \le [\sigma].$

4. Чтобы найти минимальный диаметр, необходимо найти минимальную площадь поперечного сечения $S_{min}$, при которой условие прочности ещё выполняется. Это соответствует случаю равенства:

$\frac{F}{S_{min}} = [\sigma].$

Отсюда выразим минимальную площадь:

$S_{min} = \frac{F}{[\sigma]} = \frac{49000 \text{ Н}}{2,2 \cdot 10^7 \text{ Па}} \approx 2,227 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2.$

5. Площадь поперечного сечения круглого троса выражается через его диаметр $d$ по формуле:

$S = \frac{\pi d^2}{4}.$

6. Выразим из этой формулы минимально допустимый диаметр троса $d_{min}$:

$d_{min} = \sqrt{\frac{4 S_{min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 2,227 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}{3,14159}} \approx \sqrt{2,835 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} \approx 0,05325 \text{ м}.$

7. Переведём полученное значение в миллиметры для удобства:

$d_{min} \approx 0,05325 \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}} \approx 53,3 \text{ мм}.$

Ответ: минимальный диаметр стального троса должен быть равен $53,3$ мм.