Номер 3, страница 328 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 12. Твёрдое тело. Параграф 70. Механические свойства твёрдых тел. Задачи - номер 3, страница 328.

Условие.

3. Чему равно абсолютное удлинение $\Delta l$ стального троса длиной 10 м и диаметром 2 см при подвешивании к нему груза массой 2 т? Модуль Юнга для стали $2 \cdot 10^{11}$ Па.

Решение.

Дано:

Длина троса, $l_0 = 10$ м
Диаметр троса, $d = 2$ см
Масса груза, $m = 2$ т
Модуль Юнга для стали, $E = 2 \cdot 10^{11}$ Па

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$m = 2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$

Найти:

Абсолютное удлинение, $\Delta l$

Решение:

Абсолютное удлинение $\Delta l$ можно найти, используя закон Гука для упругой деформации и определение модуля Юнга $E$. Модуль Юнга связывает механическое напряжение $\sigma$ и относительное удлинение $\epsilon$ материала:

$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$

Механическое напряжение $\sigma$ — это сила $F$, приложенная к единице площади поперечного сечения $S$ троса:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Относительное удлинение $\epsilon$ — это отношение абсолютного удлинения $\Delta l$ к начальной длине $l_0$:

$\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$

Подставим выражения для $\sigma$ и $\epsilon$ в формулу для модуля Юнга:

$E = \frac{F/S}{\Delta l/l_0} = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot \Delta l}$

Из этой формулы выразим искомое абсолютное удлинение $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot E}$

Сила $F$, растягивающая трос, равна весу подвешенного груза. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²:

$F = m \cdot g = 2000 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 20000 \text{ Н} = 2 \cdot 10^4 \text{ Н}$

Площадь поперечного сечения троса $S$ (площадь круга с диаметром $d$) вычисляется по формуле:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

$S = \frac{\pi \cdot (0.02 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.0004 \text{ м}^2}{4} = \pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $\Delta l$, используя значение $\pi \approx 3.14$:

$\Delta l = \frac{(2 \cdot 10^4 \text{ Н}) \cdot (10 \text{ м})}{(\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (2 \cdot 10^{11} \text{ Па})} = \frac{2 \cdot 10^5}{2\pi \cdot 10^7} = \frac{1}{\pi \cdot 10^2} \text{ м}$

$\Delta l \approx \frac{1}{3.14 \cdot 100} \approx \frac{1}{314} \approx 0.00318 \text{ м}$

Для наглядности переведем результат в миллиметры:

$0.00318 \text{ м} = 3.18 \text{ мм}$

Округлим значение до десятых.

Ответ: абсолютное удлинение стального троса равно примерно $3.2$ мм.