Номер 4, страница 328 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 12. Твёрдое тело. Параграф 70. Механические свойства твёрдых тел. Задачи - номер 4, страница 328.

Условие.

4. Сечение бедренной кости человека (в средней её части) напоминает пустотелый цилиндр с внешним радиусом 11 мм и внутренним 5 мм. Предел прочности костной ткани на сжатие 160 МПа. Груз какой минимальной массы под действием силы тяжести, направленной вдоль кости, может её сломать?

Решение.

Дано:

$R_{внеш} = 11 \text{ мм}$

$R_{внутр} = 5 \text{ мм}$

$\sigma_{пр} = 160 \text{ МПа}$

$g \approx 10 \text{ Н/кг}$

$R_{внеш} = 11 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.011 \text{ м}$

$R_{внутр} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.005 \text{ м}$

$\sigma_{пр} = 160 \cdot 10^6 \text{ Па}$

Найти:

$m$ - ?

Решение:

Чтобы сломать кость, необходимо приложить силу, создающую механическое напряжение, равное пределу прочности костной ткани на сжатие.

Механическое напряжение $\sigma$ определяется как отношение силы $F$ к площади поперечного сечения $S$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

В данном случае сила $F$ — это сила тяжести груза, $F = mg$, где $m$ — искомая масса, а $g$ — ускорение свободного падения.

Площадь поперечного сечения кости, имеющей форму пустотелого цилиндра (кольца), равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов:

$S = \pi R_{внеш}^2 - \pi R_{внутр}^2 = \pi(R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2)$

Минимальная масса, способная сломать кость, создаст напряжение, равное пределу прочности $\sigma_{пр}$:

$\sigma_{пр} = \frac{mg}{\pi(R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2)}$

Выразим массу $m$ из этой формулы:

$m = \frac{\sigma_{пр} \cdot \pi(R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2)}{g}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем вычисления. Примем значение $\pi \approx 3.14$.

Сначала найдем площадь поперечного сечения $S$:

$S = 3.14 \cdot ((0.011 \text{ м})^2 - (0.005 \text{ м})^2) = 3.14 \cdot (0.000121 \text{ м}^2 - 0.000025 \text{ м}^2) = 3.14 \cdot 0.000096 \text{ м}^2 \approx 0.00030144 \text{ м}^2$

Теперь рассчитаем массу $m$:

$m = \frac{160 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0.00030144 \text{ м}^2}{10 \text{ Н/кг}} = \frac{48230.4 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} = 4823.04 \text{ кг}$

Ответ: минимальная масса груза, которая может сломать кость, составляет примерно $4823 \text{ кг}$.