Номер 7, страница 35 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

7. Дайте определение центра масс.

7. Центр масс (также называемый центром инерции) — это точка, характеризующая движение механической системы в целом. Положение этой точки зависит только от распределения масс в системе и не зависит от её движения или положения в пространстве.

Ключевое свойство центра масс заключается в том, что он движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной суммарной массе всей системы, под действием всех внешних сил, приложенных к системе. Это позволяет разделить сложное движение системы на два более простых: поступательное движение центра масс и вращательное движение системы вокруг него.

Вычисление положения центра масс:

1. Для системы дискретных материальных точек:

Если система состоит из $n$ точек с массами $m_1, m_2, \dots, m_n$ и радиус-векторами $\vec{r_1}, \vec{r_2}, \dots, \vec{r_n}$, то радиус-вектор центра масс $\vec{r_c}$ находится по формуле:

$\vec{r_c} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r_i}}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r_i}$

где $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ — полная масса системы.

В проекциях на оси координат (например, декартовой системы):

$x_c = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i x_i$, $y_c = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i y_i$, $z_c = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i z_i$

2. Для твёрдого тела с непрерывным распределением массы:

Положение центра масс вычисляется с помощью интегрирования по объёму $V$ (или площади/длине) тела:

$\vec{r_c} = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \, dm$

где $M = \int_V dm$ — полная масса тела, а $\vec{r}$ — радиус-вектор элементарной массы $dm$. Если известна плотность тела $\rho(\vec{r})$, то $dm = \rho(\vec{r})dV$, и формула принимает вид:

$\vec{r_c} = \frac{\int_V \vec{r} \rho(\vec{r}) dV}{\int_V \rho(\vec{r}) dV}$

Основные свойства и примеры:

• Для тел, обладающих центром симметрии и однородной плотностью (например, шар, куб, параллелепипед), центр масс совпадает с этим геометрическим центром симметрии.

• Центр масс не обязательно должен находиться внутри физического тела. Например, у кольца, бублика или пустого ящика центр масс расположен в пустоте.

• В однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести — точкой, к которой приложена равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела. В неоднородном поле эти две точки могут не совпадать.

Ответ: Центр масс — это точка, положение которой характеризует распределение массы в механической системе. Для системы материальных точек с массами $m_i$ и радиус-векторами $\vec{r_i}$ её радиус-вектор $\vec{r_c}$ определяется как средневзвешенное радиус-векторов этих точек: $\vec{r_c} = (\sum m_i \vec{r_i}) / (\sum m_i)$. Движение центра масс описывает поступательное движение системы как единого целого под действием внешних сил.