Номер 3, страница 34 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

3. Каковы условия равновесия тела, не имеющего оси вращения?

Решение

Для того чтобы твёрдое тело, не имеющее закреплённой оси вращения, находилось в состоянии равновесия, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия. Состояние равновесия означает, что линейное и угловое ускорения тела равны нулю.

1. Первое условие равновесия (равновесие поступательного движения)

Это условие обеспечивает отсутствие ускоренного поступательного движения центра масс тела. Оно гласит, что геометрическая (векторная) сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю.

Математически это выражается так:

$ \sum_{i=1}^{n} \vec{F_i} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \dots + \vec{F_n} = 0 $

Данное векторное уравнение эквивалентно системе трёх скалярных уравнений для проекций сил на оси декартовой системы координат $Oxyz$:

$ \sum F_{ix} = 0 $

$ \sum F_{iy} = 0 $

$ \sum F_{iz} = 0 $

Выполнение этого условия означает, что центр масс тела либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

2. Второе условие равновесия (равновесие вращательного движения)

Это условие, также известное как правило моментов, обеспечивает отсутствие углового ускорения тела. Оно гласит, что векторная сумма моментов всех внешних сил относительно любой произвольно выбранной точки (центра моментов) должна быть равна нулю.

Математически это записывается в виде:

$ \sum_{i=1}^{n} \vec{M_i} = \vec{M_1} + \vec{M_2} + \dots + \vec{M_n} = 0 $

где $ \vec{M_i} = \vec{r_i} \times \vec{F_i} $ — момент силы $ \vec{F_i} $, а $ \vec{r_i} $ — радиус-вектор точки приложения силы относительно центра моментов.

Если первое условие равновесия выполнено, то сумма моментов сил не зависит от выбора центра моментов. Это значит, что если сумма моментов равна нулю относительно одной точки, она будет равна нулю и относительно любой другой.

В проекциях на оси координат это условие выглядит так:

$ \sum M_{ix} = 0 $

$ \sum M_{iy} = 0 $

$ \sum M_{iz} = 0 $

Выполнение этого условия гарантирует, что тело не будет вращаться с ускорением, то есть его угловая скорость останется постоянной (или равной нулю).

Ответ:

Условиями равновесия тела, не имеющего оси вращения, являются два одновременно выполняемых требования:

1. Векторная сумма всех внешних сил, действующих на тело, равна нулю: $ \sum \vec{F_i} = 0 $.

2. Векторная сумма моментов всех внешних сил относительно произвольной точки равна нулю: $ \sum \vec{M_i} = 0 $.