Номер 6, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

6. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте $2600 \text{ км}$ над поверхностью Земли.

6. Дано:

Высота орбиты $h = 2600$ км

Радиус Земли $R_З = 6400$ км (из контекста предыдущей задачи)

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g = 10$ м/с² (из контекста предыдущей задачи)

Перевод в систему СИ:

$h = 2600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,6 \cdot 10^6$ м

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6$ м

Найти:

Скорость спутника $v$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, значит, на него действует центростремительная сила. Эту роль выполняет сила всемирного тяготения, действующая на спутник со стороны Земли. По второму закону Ньютона:

$F_т = ma_ц$

где $F_т$ — сила тяготения, $m$ — масса спутника, $a_ц$ — его центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, а $r$ — радиус орбиты спутника. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$:

$r = R_З + h$

Центростремительное ускорение спутника, движущегося со скоростью $v$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$ в знаменателе, чтобы выразить скорость $v$:

$v^2 = \frac{GM_З}{r} = \frac{GM_З}{R_З + h}$

Произведение $GM_З$ можно выразить через ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$. На поверхности Земли ($r=R_З$) сила тяжести $mg$ равна силе тяготения:

$mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Отсюда получаем: $GM_З = gR_З^2$.

Подставим это выражение в формулу для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{gR_З^2}{R_З + h}$

Тогда искомая скорость равна:

$v = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З + h}} = R_З \sqrt{\frac{g}{R_З + h}}$

Подставим числовые значения в единицах СИ:

$r = R_З + h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 9,0 \cdot 10^6 \text{ м}$

$v = \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (6,4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{9,0 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{10 \cdot 40,96 \cdot 10^{12}}{9,0 \cdot 10^6}} \text{ м/с}$

$v = \sqrt{\frac{409,6}{9} \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx \sqrt{45,51 \cdot 10^6} \text{ м/с}$

$v \approx 6746 \text{ м/с}$

Ответ: скорость искусственного спутника Земли приблизительно равна 6746 м/с.