Номер 5, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

5. Рассчитайте первую космическую скорость на высоте трех земных радиусов над поверхностью Земли. На поверхности Земли ускорение свободного падения принять равным $10 \text{ м/с}^2$, а радиус Земли — $6400 \text{ км}$.

Дано:

Высота над поверхностью Земли: $h = 3R_З$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 = 10 \frac{м}{с^2}$

Радиус Земли: $R_З = 6400 \text{ км}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первая космическая скорость на высоте $h$: $v_h$

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для движения по круговой орбите на спутник должна действовать центростремительная сила, роль которой выполняет гравитационная сила.

Запишем второй закон Ньютона для спутника на орбите: $ma_ц = F_г$

Здесь $m$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение, $F_г$ — гравитационная сила, действующая на спутник.

Центростремительное ускорение равно $a_ц = \frac{v_h^2}{r}$, где $v_h$ — искомая скорость на высоте $h$, а $r$ — радиус орбиты, т.е. расстояние от центра Земли.

Гравитационная сила определяется законом всемирного тяготения: $F_г = G\frac{Mm}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли.

Подставим выражения для ускорения и силы в закон Ньютона: $m\frac{v_h^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим формулу для орбитальной скорости: $v_h = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ над поверхностью: $r = R_З + h$

По условию задачи $h = 3R_З$, следовательно: $r = R_З + 3R_З = 4R_З$

В задаче не даны значения $G$ и $M$, но дано ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0$. Выразим произведение $GM$ через $g_0$. Ускорение свободного падения на поверхности Земли ($r=R_З$) равно: $g_0 = G\frac{M}{R_З^2}$

Отсюда $GM = g_0 R_З^2$.

Теперь подставим выражения для $r$ и $GM$ в формулу для скорости $v_h$: $v_h = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{4R_З}} = \sqrt{\frac{g_0 R_З}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{g_0 R_З}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $v_h = \frac{1}{2}\sqrt{10 \frac{м}{с^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}} = \frac{1}{2}\sqrt{64 \cdot 10^6 \frac{м^2}{с^2}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 4 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 4000 \frac{м}{с}$

Ответ: $4000 \frac{м}{с}$ (или $4 \frac{км}{с}$).